已知A.B.C是不共线的三点.O是△ABC内的一点．若$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$.求证:O是△ABC的重心．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．已知A，B，C是不共线的三点，O是△ABC内的一点．若$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，求证：O是△ABC的重心．

分析利用向量的运算法则：平行四边形法则得到A，O，D共线且O为三角形中线的三等分点，据三角形重心的性质判断出O为重心．

解答证明：以$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$为邻边作平行四边形OBDC，

则$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$．
又$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=-$\overrightarrow{OA}$．
∴-$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OD}$．
∴O为AD的中点，且A、O、D共线．
又E为OD的中点，
∴O是中线AE的三等分点，且OA=$\frac{2}{3}$AE．
∴O是△ABC的重心．

点评本题考查向量的运算法则：平行四边形法则、考查三角形的重心的性质：分三角形的中线为2：1的关系．

练习册系列答案

	A．	能构成一个三角形，其面积大于△ABC面积的$\frac{1}{4}$
	B．	能构成一个三角形，其面积等于△ABC面积的$\frac{1}{4}$
	C．	能构成一个三角形，其面积小于△ABC面积的$\frac{1}{4}$
	D．	不一定能构成三角形

1．当x∈（2，+∞）时，函数y=lg（ax-1）有意义．求实数a的取值范围．

18．若sin（$\frac{π}{2}$+θ）＜0，且cos（$\frac{π}{2}-θ$）＞0，则θ是（　　）

5．已知角α=kπ-$\frac{2π}{3}$，k∈Z，则角α的终边在第一或三象限．

15．若执行如图的程序框图，则输出的n的值是（　　）