Question

12．已知：正四面体ABCD（所有棱长均相等）的棱长为1，E、F、G、H分别是四面体ABCD中各棱的中点，设：$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow b，\overrightarrow{AD}=\overrightarrow c$，试采用向量法解决下列问题
（1）求$\overrightarrow{EF}$的模长；       
（2）求$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{GH}$的夹角．

Answer 1

分析 （1）根据题意，用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$表示出向量$\overrightarrow{EF}$，求出它的模长|$\overrightarrow{EF}$|；
（2）用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$表示出向量$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{GH}$，求出$\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{GH}$的夹角即可．

解答 解：（1）如图所示，
正四面体ABCD的棱长为1，E、F、G、H分别是四面体ABCD中各棱的中点，
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow b，\overrightarrow{AD}=\overrightarrow c$，
∴$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），
$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{c}$；
∴$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AF}$=-$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）-$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{c}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
∴|$\overrightarrow{EF}$|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}^{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{\overrightarrow{c}}^{2}{+\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+1+1-2×1×1•cos60°-2×1×1•cos60°+2×1×1•cos60°}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；       
（2）正四面体ABCD中，$\overrightarrow{EF}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），|$\overrightarrow{EF}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；       
同理，$\overrightarrow{GH}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$），|$\overrightarrow{GH}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{GH}$＞=$\frac{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{GH}}{|\overrightarrow{EF}|×|\overrightarrow{GH}|}$
=$\frac{\frac{1}{2}（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\frac{1}{2}（\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$
=$\frac{1}{2}$[${（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）}^{2}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$]
=$\frac{1}{2}$[${\overrightarrow{c}}^{2}$+${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$]
=$\frac{1}{2}$[1+1-2×1×1cos60°-1]
=0，
∴$\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{GH}$的夹角为90°．

点评 本题考查了空间向量的应用问题，也考查了向量的线性运算与数量积的运算问题，是基础题目．