题目内容

1.已知圆C:x2+y2=4和直线l:3x+4y+12=0,点P是圆C上的一动点,直线与坐标轴的交点分别为点A、B,
(1)求与圆C相切且平行直线l的直线方程;
(2)求△PAB面积的最大值.

分析 (1)根据题意设所求方程为3x+4y+a=0,根据直线与圆相切时,圆心到直线的距离d=r求出a的值,即可确定出所求直线方程;
(2)当直线与AB平行,且与圆相切时,△PAB面积的最大值,如图所示,求出|AB|与|MN|的长,即可确定出△PAB面积的最大值.

解答 解:(1)设所求直线方程为3x+4y+a=0,
由题意得:圆心(0,0)到直线的距离d=r,即$\frac{|a|}{5}$=2,
解得:a=±10,
则所求直线方程为3x+4y±10=0;
(2)当直线与AB平行,且与圆相切时,△PAB面积的最大值,
此时直线方程为3x+4y-10=0,
∵点C到直线AB的距离|CN|=$\frac{12}{5}$,CM=2,
∴|MN|=$\frac{12}{5}$+2=$\frac{22}{5}$,
∵A(-4,0),B(0,3),即OA=4,OB=3,
∴|AB|=5,
则△PAB面积最大值为$\frac{1}{2}$×5×$\frac{22}{5}$=11.

点评 此题考查了直线与圆的方程的应用,涉及的知识有:点到直线的距离公式,两直线平行时斜率的关系,以及直线与圆相切的性质,熟练掌握公式及性质是解本题的关键.

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