题目内容
【题目】如图，在直三棱柱
中， 
， 
，点
是
的中点．
①求证： 
．
②求点
到平面
的距离．
③求二面角
的余弦值的大小．
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）
【解析】试题分析：（1）由等腰三角形得
，由
平面
得
，故而可得
平面
，最后得结论；（2）点
到平面
的距离为
．通过
转化
，求点
到平面
的距离；（3）以
为坐标原点， 
， 
， 
为
， 
， 
轴，建立空间直角坐标系，求出面
和面
的法向量，计算法向量的夹角，根据图可判断二面角为锐角，故可得角的大小.
试题解析：（1）∵在等腰
中， 
为斜边
中点，∴
，又∵在直三棱柱
中， 
平面
， 
平面
，∴ 
，∵
点， 
、
平面
，∴
平面
， 
平面
，∴
．
（2）设点
到平面
的距离为
，在三棱锥
中，∵
，且
平面
，∴
，易求得
， 
，∴
，即点
到平面
的距离是
（3）如图，
以
为坐标原点， 
， 
， 
为
， 
， 
轴，建立空间直角坐标系， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
．设平面
的一个法向量
， 
， 
，设平面
的一个法向量
， 
， 
，∴
，由图知，所求二面角为锐角，余弦值为
．
【题目】中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料，进入全面勘探时期后，集团按网络点米布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口断井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：
井号 |
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坐标 |
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钻探深度 |
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出油量 |
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（1）
～
号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为
，求
，并估计
的预报值；
（2）现准备勘探新井
，若通过
号并计算出的
的值（
精确到
）与（1）中的值差不超过
，则使用位置最接近的已有旧井
，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？
（参考公式和计算结果：
）
（3）设出油量与勘探深度的比值
不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有口井中任意勘探
口井，求勘探优质井数
的分布列与数学期望.
【题目】某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示.
（1）根据茎叶图中的数据完成
列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？
购买意愿强 | 购买意愿弱 | 合计 | |
20~40岁 | |||
大于40岁 | |||
合计 |
（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，求这2人都是年龄大于40岁的概率.
附：
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