题目内容
【题目】如图，四边形
为菱形， 
， 
与
相交于点
， 
平面
， 
平面
， 
， 
为
中点.
（Ⅰ）求证： 
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的正弦值；
（Ⅲ）当直线
与平面
所成角为
时，求异面直线
与
所成角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
（3）
【解析】试题分析：（Ⅰ）先证明四边形
为菱形，再根据三角形中位线定理可得
，进而可得结论；（Ⅱ）以
， 
， 
为
， 
， 
轴建立空间直角坐标系，分别求出平面
的法向量及平面
的法向量，根据空间向量夹角余弦公式可得结果；（Ⅲ）根据为
与平面
所成角为
可得
的值，进而利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
试题解析：（Ⅰ）证明：因为
面
， 
面
，所以
.
因为四边形
为菱形，所以
为
中点，又
为
中点，
所以
， 
面
， 
面
，故
平面
.
（Ⅱ）分别以
， 
， 
为
， 
， 
轴建立空间直角坐标系，
， 
， 
， 
， 
， 
设平面
的法向量
，则
得
，令
， 
，所以
设平面
的法向量
，则
得
，令
， 
，所以
于是
，
所以
.
所以，二面角
的正弦值为
.
（Ⅲ）设
， 
，
因为
与平面
所成角为
，所以
解得
或
（舍）.
于是
， 
.
因此，异面直线
与
所成角的余弦值
.
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