题目内容
【题目】如图,四边形为菱形, , 与相交于点, 平面, 平面, , 为中点.
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)当直线与平面所成角为时,求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)(3)
【解析】试题分析:(Ⅰ)先证明四边形为菱形,再根据三角形中位线定理可得,进而可得结论;(Ⅱ)以, , 为, , 轴建立空间直角坐标系,分别求出平面的法向量及平面的法向量,根据空间向量夹角余弦公式可得结果;(Ⅲ)根据为与平面所成角为可得 的值,进而利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
试题解析:(Ⅰ)证明:因为面, 面,所以.
因为四边形为菱形,所以为中点,又为中点,
所以, 面, 面,故平面.
(Ⅱ)分别以, , 为, , 轴建立空间直角坐标系,
, , ,
, ,
设平面的法向量,则
得,令, ,所以
设平面的法向量,则
得,令, ,所以
于是,
所以.
所以,二面角的正弦值为.
(Ⅲ)设, ,
因为与平面所成角为,所以
解得或(舍).
于是, .
因此,异面直线与所成角的余弦值.