题目内容
【题目】如图1,在正方形中,点
分别是
的中点,
与
交于点
,点
分别在线段
上,且
.将
分别沿
折起,使点
重合于点
,如图2所示.
(1)求证:平面
;
(2)若正方形的边长为4,求三棱锥
的内切球的半径.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)因为点重合于点
(该点记为
),由原图可知,
三条直线两两垂直,那么
平面
,又根据图中给的比例关系,可知
,根据平行关系可知
,平行线与同一平面垂直,即证明;(2)因为内切球的球心到三棱锥的四个面的距离相等,所以可将三棱锥的体积分为四个小三棱锥的体积和,而每一个小三棱锥的高就是内切球的半径
,这样根据体积和可求得内切球的半径.
试题解析:(1)在正方形中,
为直角,
∴在三棱锥中,
三条线段两两垂直...................2分
∴平面
...........................3分
∵,即
,∴在
中,
...............4分
∴平面
....................6分
(2)正方形边长为4.
由题意,...................7分
∴.
..................10分
设三棱锥内切球半径为
.
则三棱锥的体积
∴.
∴三棱锥的内切球的半径为
.....................12分
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