某同学用“五点法画函数f(ω＞0.|φ|＜$\frac{π}{2}$)在某一个周期内的图象时.列表并填入了部分数据.如下表:ωx+φ0$\frac{π}{2}$π$\frac{3π}{2}$2πx$\frac{π}{3}$$\frac{5π}{6}$Asin05-50(Ⅰ)请将上表数据补充完整.填写在答题卡上相应位置.并直接写出函数f(x)的解析式,=f -1.当x� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x		$\frac{π}{3}$		$\frac{5π}{6}$
Asin（ωx+φ）	0	5		-5	0

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=f （x+$\frac{π}{3}$）-1，当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，若存在g（x）＜a-2成立，求实数a的取值范围．

分析（Ⅰ）根据表中已知数据可得：A=5，$\frac{π}{3}ω$+φ=$\frac{π}{2}$，A=-5，$\frac{5π}{6}ω+$φ=$\frac{3π}{2}$，从而解得ω=2，φ=-$\frac{π}{6}$．即可得解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求g（x）=f （x+$\frac{π}{3}$）-1=5cos2x-1，由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]可得2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，解得-$\frac{7}{2}$≤g（x）≤4，由题意可得a-2＞-$\frac{7}{2}$，即可得解．

解答解：（Ⅰ）根据表中已知数据可得：A=5，$\frac{π}{3}ω$+φ=$\frac{π}{2}$，A=5，$\frac{5π}{6}ω+$φ=$\frac{3π}{2}$，
解得ω=2，φ=-$\frac{π}{6}$．数据补全如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{13π}{12}$
Asin（ωx+φ）	0	5	0	-5	…（4分） 0

且函数表达式为f（x）=5sin（2x-$\frac{π}{6}$）．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴g（x）=f （x+$\frac{π}{3}$）-1=5$sin[2（x+\frac{π}{3}）-\frac{π}{6}]$-1=5cos2x-1，…（8分）
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]…（9分）
∴-$\frac{1}{2}$≤cos（2x）≤1，
∴-$\frac{7}{2}$≤g（x）≤4，…（10分）
∵存在g（x）＜a-2成立，
∴a-2＞-$\frac{7}{2}$，
∴a＞-$\frac{3}{2}$．
∴a的取值范围是（-$\frac{3}{2}$，+∞）．…（12分）

点评本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．