题目内容
4．已知函数f（x）=x+$\frac{4}{x-1}$，定义域为D．（Ⅰ）若D=（1，+∞），求函数的f（x）最小值；
（Ⅱ）若D=（-∞，1）∪（1，+∞）时，（x-1）f（x）＞mx恒成立，求实数m的取值范围．
分析 （Ⅰ）因为x＞1，对函数的f（x）变形为积为定值的情况，利用基本不等式求最值；
（Ⅱ）将所求转化为二次不等式x2-（m+1）x+4＞0恒成立的问题解答．
解答 解：（Ⅰ）当D=（1，+∞），即x＞1，∴$\frac{4}{x-1}$＞0，x1＞0…（2分）
∴f（x）=x+$\frac{4}{x-1}$=x-1+$\frac{4}{x-1}$+1$≥2\sqrt{（x-1）\frac{4}{x-1}}$+1=5（当且仅当x=3取等号）
∴函数的f（x）最小值为5．…（6分）
（Ⅱ）D=（-∞，1）∪（1，+∞）时，（x-1）f（x）＞mx恒成立，化为x2-（m+1）x+4＞0恒成立，
当△=（m+1）2-16＜0即-5＜m＜3时，x2-（m+1）x+4＞0恒成立…（10分）
当△=（m+1）2-16=0即m=3或m=-5时，均不合题意
综上所述，-5＜m＜3．…（12分）
点评 本题考查了利用基本不等式求函数的最值以及二次函数恒成立问题；利用基本不等式时注意不等式成立的三个条件．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D． | 1 |
9．若集合A={x|x2-7x＜0，x∈N*}，则B={y|$\frac{6}{y}$∈N*，y∈A}中元素的个数为（ ）
| A． | 3个 | B． | 4个 | C． | 1个 | D． | 2个 |
16．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=f （x+$\frac{π}{3}$）-1，当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，若存在g（x）＜a-2成立，求实数a的取值范围．
| ωx+φ | 0 | $\frac{π}{2}$ | π | $\frac{3π}{2}$ | 2π |
| x | $\frac{π}{3}$ | $\frac{5π}{6}$ | |||
| Asin（ωx+φ） | 0 | 5 | -5 | 0 |
（Ⅱ）令g（x）=f （x+$\frac{π}{3}$）-1，当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，若存在g（x）＜a-2成立，求实数a的取值范围．