Question

5．已知双曲线C：${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$与点P（1，2）．
（1）求过点P（1，2）且与曲线C只有一个交点的直线方程；
（2）是否存在过点P的弦AB，使AB的中点为P，若存在，求出弦AB所在的直线方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过直线的斜率不存在和存在2中情况，存在时，将直线代入曲线C，讨论二次项系数结合根的判别式从而得到答案；
（2）假设存在，整理得到AB的斜率为$\frac{1}{2}$，从而得到直线AB的方程，进而得到结论．

解答 解：（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点．…（1分）
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k（x-1），代入C的方程，
并整理得（2-k²）x²+2（k²-2k）x-k²+4k-6=0 （^*）
（ⅰ）当2-k²=0，即k=±$\sqrt{2}$时，方程（^*）有一个根，l与C有一个交点
所以l的方程为$\sqrt{2}x-y-\sqrt{2}+2=0或\sqrt{2}x+y-\sqrt{2}-2=0$…（3分）
（ⅱ）当2-k²≠0，即k≠±$\sqrt{2}$时
△=[2（k²-2k）]²-4（2-k²）（-k²+4k-6）=16（3-2k），
①当△=0，即3-2k=0，k=$\frac{3}{2}$时，方程（^*）有一个实根，l与C有一个交点．
所以l的方程为3x-2y+1=0…（6分）
综上知：l的方程为x=1或$\sqrt{2}x-y-\sqrt{2}+2=0或\sqrt{2}x+y-\sqrt{2}-2=0$或3x-2y+1=0…（6分）
（2）假设以P为中点的弦存在，设为AB，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，

两式相减得2（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂）…（8分）
又∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=4，
∴2（x₁-x₂）=4（y₁-y₂）
即k_AB=$\frac{{y}_{1}{-y}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，…（10分）
∴直线AB的方程为y-2=$\frac{1}{2}$（x-1），…（11分）
代入双曲线方程2x²-y²=2，可得，15y²-48y+34=0，
由于判别式为48²-4×15×34＞0，则该直线AB存在．    …（12分）

点评 本题考查了直线和曲线的交点问题，考查直线方程问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．