题目内容
11．已知函数f（x）=x-alnx，g（x）=-$\frac{1+a}{x}$，（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）的极值；
（2）设函数h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的单调区间．
分析 （Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值；（Ⅱ）先求出函数h（x）的导数，通过讨论a的范围，从而得到函数的单调性．
解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
当a=1时，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
| x | （0，1） | 1 | （1，+∞） |
| f′（x） | - | 0 | + |
| f（x） | 极小 |
（Ⅱ）h（x）=x+$\frac{1+a}{x}$-alnx，
h′（x）=1-$\frac{1+a}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$=$\frac{（x+1）[x-（1+a）]}{{x}^{2}}$，
①当a+1＞0时，即a＞-1时，在（0，1+a）上，h′（x）＜0，
在（1+a，+∞）上，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，1+a）递减，在（1+a，+∞）递增；
②当1+a≤0，即a≤-1时，在（0，+∞）上h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上递增．
点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题．
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（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=f （x+$\frac{π}{3}$）-1，当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，若存在g（x）＜a-2成立，求实数a的取值范围．
| ωx+φ | 0 | $\frac{π}{2}$ | π | $\frac{3π}{2}$ | 2π |
| x | $\frac{π}{3}$ | $\frac{5π}{6}$ | |||
| Asin（ωx+φ） | 0 | 5 | -5 | 0 |
（Ⅱ）令g（x）=f （x+$\frac{π}{3}$）-1，当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，若存在g（x）＜a-2成立，求实数a的取值范围．