题目内容
（本小题满分14分）
已知椭圆方程为
（
），抛物线方程为
．过抛物线的焦点作
轴的垂线，与抛物线在第一象限的交点为
，抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点
．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设
为椭圆上的动点，由向
轴作垂线
，垂足为
，且直线上一点
满足
，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
已知椭圆方程为
（），抛物线方程为．过抛物线的焦点作轴的垂线，与抛物线在第一象限的交点为，抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点． （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设
为椭圆上的动点，由向轴作垂线，垂足为，且直线上一点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.略
解：（1）抛物线的焦点为
，过抛物线的焦点垂线于轴的直线为
.
由
得点的坐标为
. ………………2分
由得
，
∴
，故
. ………………3分
∴抛物线在点的切线方程为
，即
. …………4分
又由椭圆方程及知，右焦点的坐标为
. …………5分
∴
，解得
. ………………7分
∴椭圆方程为
，抛物线方程为
． ………………8分
（2）设点的坐标为
，点的坐标为
，则点的坐标为
,且
，
.由已知知
. ………………10分
将其代入椭圆方程得
. ………………11分
当
，即
时，点的轨迹方程为
，其轨
迹是以原点为圆心，半径为
的圆； ………………12分
当
，即
时，点的轨迹方程为，其轨迹是焦点在轴上的椭圆； ………………13分
当
，即
时，点的轨迹方程为，其轨迹是焦点在 轴上的椭圆. ………………14分
，过抛物线的焦点垂线于轴的直线为.由
得点的坐标为. ………………2分由
得，∴
，故. ………………3分∴抛物线在点
的切线方程为，即. …………4分又由椭圆方程及
知，右焦点的坐标为. …………5分∴
，解得. ………………7分∴椭圆方程为
，抛物线方程为． ………………8分（2）设点
的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为,且，.由已知知. ………………10分将其代入椭圆方程得
. ………………11分当
，即时，点的轨迹方程为，其轨迹是以原点为圆心，半径为的圆； ………………12分当
，即时，点的轨迹方程为，其轨迹是焦点在轴上的椭圆； ………………13分当
，即时，点的轨迹方程为，其轨迹是焦点在 轴上的椭圆. ………………14分
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，则点P到右准线的距离为
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，直线
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，且
．
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、
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·
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，
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．
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