题目内容

13.已知cosx=a0+a1x+a2x2+…+anxn+….有个同学用以下方法求a0,a1,a2,令x=0,得a0=1;由(cosx)'=-sinx=a1+2a2x+…+nanxn-1+…,令x=0,得a1=0,由(cosx)''=-cosx=2a2+2•3a3x+…+(n-1)nanxn-2+…,令x=0,得a2=-$\frac{1}{2}$,依此类推,我们可得a2n=$\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}$.

分析 观察已知式子的规律,并改写形式,归纳可得结论.

解答 解:cosx=a0+a1x+a2x2+…+anxn+….令x=0,得a0=1=;
由(cosx)'=-sinx=a1+2a2x+…+nanxn-1+…,令x=0,得a1=0,
由(cosx)''=-cosx=2a2+2•3a3x+…+(n-1)nanxn-2+…,令x=0,得a2=-$\frac{1}{2}$,
由(cosx)''′=sinx=2•3a3+2×3×4a4x…+(n-2)(n-1)nanxn-3+…,令x=0,得a3=0,
由(cosx)''′′=cosx=2×3×4a4+…+(n-3)(n-2)(n-1)nanxn-4+…,令x=0,得a4=$\frac{1}{2×3×4}$,

由以上可得a2n=$\frac{(-1)^{n}}{2×3×4×…×2n}$=$\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}$,
故答案为:$\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}$.

点评 本题考查归纳推理,求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论,属于基础题.

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