题目内容
4.若函数f(x)在定义域内的一个区间[a,b](a<b)上函数值的取值范围恰好是$[\frac{a}{2},\frac{b}{2}]$,则称区间[a,b](a<b)是函数f(x)的一个减半压缩区间.若函数f(x)=$\sqrt{x-1}$+m存在一个减半压缩区间[a,b]((b>a≥1).(1)当m=$\frac{1}{2}$时,函数f(x)的减半压缩区间为[1,5];
(2)m的取值范围是(0,$\frac{1}{2}$].
分析 (1)通过求导容易判断f(x)在[a,b]上是增函数,令$\sqrt{x-1}$=t,t≥0,x=t2+1,所以该方程变成t2-2t+1-2m=0,把m的值代入求出方程的解,问题得以解决.
(2)由(1)所以这个关于t的方程有两不等实根,且小根大于等于0,解该不等式组即得m的取值范围.
解答 解:(1)f′(x)=$\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$;
∴函数f(x)在[a,b]上是增函数;
∴x∈[a,b]时,f(x)∈[$\sqrt{a-1}$+m,$\sqrt{b-1}$+m];
∵[a,b]是f(x)的减半压缩区间;
∴f(x)∈$[\frac{a}{2},\frac{b}{2}]$;
∴$\sqrt{a-1}$+m=$\frac{a}{2}$,$\sqrt{b-1}$+m=$\frac{b}{2}$,即方程$\sqrt{x-1}$+m=$\frac{x}{2}$有两不等实根;
令$\sqrt{x-1}$=t,x=t2+1,所以该方程变成:t2-2t+1-2m=0,
当m=$\frac{1}{2}$时,
t2-2t+1-2×$\frac{1}{2}$=0,解得t=0或t=2,
即$\sqrt{x-1}$=0,或$\sqrt{x-1}$=2,
解得x=1,或x=5,
故函数f(x)的减半压缩区间为[1,5],
(2)有(1)知,则关于t的一元二次方程有两个不等实根,且两根非负;
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4-4(1-2m)>0}\\{1-2m≥0}\end{array}\right.$,
解得0<m≤$\frac{1}{2}$;
∴实数m的取值范围是(0,$\frac{1}{2}$]
故答案为:[1,5],$(0,\frac{1}{2}]$.
点评 考查函数导数符号和函数单调性的关系,根据单调性求函数的值域,一元二次方程的解的情况和判别式△的关系,以及韦达定理,属于中档题.
A. | y=cos4x | B. | y=tan2x | C. | y=sin2x | D. | $y=sin\frac{x}{2}$ |
A. | ?x∈R,x≤0 | B. | ?x0∈R,x0>0 | C. | ?x0∈R,x0≤0 | D. | ?x∈R,x<0 |
A. | $[0,\frac{π}{3}]$ | B. | $[\frac{π}{3},\frac{2}{3}π]$ | C. | $[0,\frac{π}{3}]∪[\frac{2}{3}π,π)$ | D. | $[0,\frac{π}{3}]∪[\frac{2}{3}π,π]$ |
A. | $\frac{π}{3}$ | B. | $\frac{2π}{3}$ | C. | $\frac{4π}{3}$ | D. | $\frac{5π}{3}$ |
A. | 零向量没有方向 | B. | 单位向量都相等 | ||
C. | 共线向量又叫平行向量 | D. | 任何向量的模都是正实数 |