题目内容
【题目】阅读,我们可以用换元法解简单的高次方程,解方程x4﹣3x2+2=0时,可设y=x2,则原方程可比为y2+3y+2=0,解之得y1=2,y2=1,当y1=2时,则x2=2,即x1=,x2=﹣;当y2=1时,即x2=1,则x1=1,x2=﹣1,故原方程的解为x1=,x2=﹣,x3=1,x4=﹣1,仿照上面完成下面解答:
(1)已知方程(2x2+1)2+2x2﹣3=0,设y=2x2+1,则原方程可化为_______.
(2)仿照上述解法解方程:(x2﹣2x)2﹣3x2+6x=0.
【答案】(1)y2+y﹣4=0;(2)x=2或x=0或x=﹣1或x=3.
【解析】
(1)利用完全平方公式可把原式变为(2x2+1)2+2x2+1﹣4=(2x2+1)2+(2x2+1)﹣4,然后用y代替式子中的2x2+1.
(2)(x2﹣2x)2﹣3x2+6x=0即(x2﹣2x)2﹣3(x2﹣2x)=0.可以把x2﹣2x当作整体,设x2﹣2x=y,原方程即可变形为关于y的方程,即可求得y的值,因而求得x的值.
(1)设y=2x2+1,
则原方程左边=(2x2+1)2+(2x2+1)﹣4=y2+y﹣4.
∴原方程可化为y2+y﹣4=0.
故答案为:y2+y﹣4=0.
(2)设x2﹣2x=y,
则原式左边=(x2﹣2x)2﹣3(x2﹣2x)=y2﹣3y;
∴y2﹣3y=0,
∴y(y﹣3)=0,
∴y=0或3.
当y=0时,则x2﹣2x=0,
∴x(x﹣2)=0,
∴x=2或0;
当y=3时,则x2﹣2x=3,
∴x2﹣2x﹣3=0,
解得x=﹣1或3.
故方程的解为x=3或x=2或x=0或x=﹣1.