题目内容

【题目】阅读,我们可以用换元法解简单的高次方程,解方程x43x2+20时,可设yx2,则原方程可比为y2+3y+20,解之得y12y21,当y12时,则x22,即x1x2=﹣;当y21时,即x21,则x11x2=﹣1,故原方程的解为x1x2=﹣x31x4=﹣1,仿照上面完成下面解答:

(1)已知方程(2x2+1)2+2x230,设y2x2+1,则原方程可化为_______.

(2)仿照上述解法解方程:(x22x)23x2+6x0.

【答案】(1)y2+y40(2)x2x=0x=﹣1x=3.

【解析】

1)利用完全平方公式可把原式变为(2x2+1)2+2x2+14(2x2+1)2+(2x2+1)4,然后用y代替式子中的2x2+1

2(x22x)23x2+6x0(x22x)23(x22x)0.可以把x22x当作整体,设x22xy,原方程即可变形为关于y的方程,即可求得y的值,因而求得x的值.

1)设y2x2+1

则原方程左边=(2x2+1)2+(2x2+1)4y2+y4

∴原方程可化为y2+y40

故答案为:y2+y40

2)设x22xy

则原式左边=(x22x)23(x22x)y23y

y23y0

y(y3)0

y03

y0时,则x22x0

x(x2)0

x20

y3时,则x22x3

x22x30

解得x=﹣13

故方程的解为x3x2x0x=﹣1

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