Question

【题目】如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过P作PF⊥AE于F.

(1)求证:;

(2)当点P在射线AD上运动时,设PA=X,是否存在实数x,使以P,F,E为顶点的三角形也与△ABE相似?若存在,请求出x的值;若不存在,说明理由

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）2或5.

【解析】

（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE，从而列比例式使问题得解；（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．

证明：（1）∵AD∥BC，

∴∠PAF=∠AEB．

∵∠PFA=∠ABE=90°，

∴△PFA∽△ABE

∴

即：

（2）若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB．

∴PE∥AB．

∴四边形ABEP为矩形．

∴PA=EB=2，即x=2．

若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB．

∵∠PAF=∠AEB，

∴∠PEF=∠PAF．

∴PE=PA．

∵PF⊥AE，

∴点F为AE的中点．

∵AE= ，

∴EF=AE=．

∵ ，即，

∴PE=5，即x=5．

∴满足条件的x的值为2或5