题目内容

如图1，点A为抛物线C1：y=
1
2
x2-2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C1于另一点C
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE=4：3，求a的值；
（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．
（1）∵当x=0时，y=-2；
∴A（0，-2）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则：
-2=b
0=k+b
，
解得
k=2
b=-2

∴直线AB解析式为y=2x-2．
∵点C为直线y=2x-2与抛物线y=
1
2
x2-2的交点，则点C的横、纵坐标满足：
y=
1
2
x2-2
y=2x-2
，
解得
x1=4
y1=6
、
x2=0
y2=-2
（舍）
∴点C的坐标为（4，6）．

（2）直线x=3分别交直线AB和抛物线C1于D、E两点．
∴yD=4，yE=
5
2
，
∴DE=
3
2
．
∵FG：DE=4：3，
∴FG=2．
∵直线x=a分别交直线AB和抛物线C1于F、G两点．
∴yF=2a-2，yG=
1
2
a2-2
∴FG=|2a-
1
2
a2|=2，
解得：a1=2，a2=2+2
2
，a3=2-2
2
．

（3）设直线MN交y轴于T，过点N做NH⊥y轴于点H；

设点M的坐标为（t，0），抛物线C2的解析式为y=
1
2
x2-2-m；
∴0=
1
2
t2-2-m，
∴-2-m=-
1
2
t2．
∴y=
1
2
x2-
1
2
t2，
∴点P坐标为（0，-
1
2
t2）．
∵点N是直线AB与抛物线y=
1
2
x2-
1
2
t2的交点，则点N的横、纵坐标满足：
y=
1
2
x2-
1
2
t2
y=2x-2
，
解得
x1=2-t
y1=2-2t
或
x2=2+t
y2=2+2t
（舍）．
∴N（2-t，2-2t）．
NQ=2-2t，MQ=2-2t，
∴MQ=NQ，
∴∠MNQ=45°．
∴△MOT、△NHT均为等腰直角三角形，
∴MO=OT，HT=HN
∴OT=-t，NT=
2
（2-t），PT=-t+
1
2
t2．
∵PN平分∠MNQ，
∴∠MNP=∠PNQ，
∵NQ∥PT，
∴∠NPT=∠PNQ，
∴∠MNP=∠NPT，
∴PT=NT，
∴-t+
1
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t2=
2
（2-t），
∴t1=-2
2
，t2=2（舍）
-2-m=-
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t2=-
1
2
（-2
2
）2，
∴m=2．
练习册系列答案
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k
x
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x2 有几个公共点？
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x
y
 的值．

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