Question

已知抛物线y=x²+bx+c交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，其顶点为D．
（1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；
（2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E．求证：四边形ODBE是等腰梯形；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的

1

3

？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）分别把A（1，0）、B（3，0）两点坐标代入y=x²+bx+c得到关于b、c的方程组，
解之得：b=-4，c=3，
∴抛物线的对称轴为：直线x=2；

（2）证明：抛物线的解析式为y=x²-4x+3，
当x=0时，y=3
∴C点坐标为（0，3），
而y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴抛物线顶点D点坐标为（2，-1）．
∴tan∠DOF=

1

2

；
设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，
∴F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BE．
∵△OBC是等腰直角三角形，OE⊥BC，
∴∠EOB=45°，而OF=2，EF⊥OB，
∴EF=2，
∴E点坐标为（2，2），
∴tan∠FBE=2，
∴∠DOF≠∠FBE，
∴DO与EB不平行．
而△DFB也是等腰直角三角形，
∴∠BOE=∠OBD=45°，
∴OE∥BD，
∴四边形ODBE是梯形．（5分）
在Rt△ODF和Rt△EBF中，
OD=

OF2+DF2

=

22+12

=

5

，BE=

EF2+FB2

=

22+12

=

5

，
∴OD=BE，
∴四边形ODBE是等腰梯形．（7分）

（3）存在．理由如下：（8分）
由题意得：S_{四边形ODBE}=

1

2

OB•DE=

1

2

×3×3=

9

2

．（9分）
设点Q坐标为（x，y）．
由题意得：S_三角形OBQ=

1

2

OB•|y|=

3

2

|y|，S_{四边形ODBE}=

1

3

×

9

2

=

3

2

，
∴y=±1．
当y=1时，即x²-4x+3=1，
∴x1=2+

2

，x2=2-

2

，
∴Q点坐标为（2+

2

，1）或（2-

2

，1）（11分）
当y=-1时，即x²-4x+3=-1，
∴x=2，
∴Q点坐标为（2，-1），即为顶点D．
综上所述，抛物线上存在三点Q₁（2+

2

，1），Q₂（2-

2

，1），Q₃（2，-1）．
使得S_三角形OBQ=

1

3

S_{四边形ODBE}．（12分）