题目内容

取一张矩形的纸进行折叠,具体操作过程如下:
第一步:先把矩形ABCD对折,折痕为MN,如图(1)所示;
第二步:再把B点叠在折痕线MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为B′,得Rt△AB′E,如图(2)所示;
第三步:沿EB′线折叠得折痕EF,如图(3)所示;利用展开图(4)所示.

探究:
(1)△AEF是什么三角形?证明你的结论.
(2)对于任一矩形,按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由.
(3)如图(5),将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点A落在DC边上的点A′处,x轴垂直平分DA,直线EF的表达式为y=kx-k (k<0)
①问:EF与抛物线y=-
1
8
x2
有几个公共点?
②当EF与抛物线只有一个公共点时,设A′(x,y),求
x
y
的值.
(1)△AEF是等边三角形
证明:∵PE=PA,
B′P是RT△AB′E斜边上的中线
∴PA=B′P,
∴∠EAB′=∠PB′A,
又∵PNAD,
∴∠B′AD=∠PB′A,
又∵2∠EAB′+∠B′AD=90°,
∴∠EAB′=∠B′AD=30°,
易证∠AEF=60°,∴∠EAF=60°,
∴△AEF是等边三角形;

(2)不一定,
设矩形的长为a,宽为b,可知b≤
3
2
a
时,一定能折出等边三角形,
3
2
a
<b<a时,不能折出;

(3)①由
y=kx-k
y=-
1
8
x2

得x2+8kx-8k=0,△=(8k)2+32k=32k(2k+1),
∵k<0.
∴k<-
1
2
时,△>0,EF与抛物线有两个公共点.
k=-
1
2
,△=0
时,EF与抛物线有一个公共点.
k>-
1
2
,△<0
时,EF与抛物线没有公共点,
②EF与抛物线只有一个公共点时,k=-
1
2

EF的表达式为y=-
1
2
x+
1
2

EF与x轴、y轴的交点为M(1,0),E(0,
1
2
),
∵∠EMO=90°-∠OEM=∠EAA′,
∴RT△EMORT△A′AD,
OE
OM
=
DA/
DA

1
2
1
=
x
2y

x
y
=1

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