Question

取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）所示；
第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图（2）所示；
第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图（3）所示；利用展开图（4）所示．

探究：
（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论．
（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．
（3）如图（5），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在DC边上的点A′处，x轴垂直平分DA，直线EF的表达式为y=kx-k （k＜0）
①问：EF与抛物线y=-

1

8

x2 有几个公共点？
②当EF与抛物线只有一个公共点时，设A′（x，y），求

x

y

的值．

Answer 1

（1）△AEF是等边三角形
证明：∵PE=PA，
B′P是RT△AB′E斜边上的中线
∴PA=B′P，
∴∠EAB′=∠PB′A，
又∵PN∥AD，
∴∠B′AD=∠PB′A，
又∵2∠EAB′+∠B′AD=90°，
∴∠EAB′=∠B′AD=30°，
易证∠AEF=60°，∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形；

（2）不一定，
设矩形的长为a，宽为b，可知b≤

3

2

a时，一定能折出等边三角形，
当

3

2

a＜b＜a时，不能折出；

（3）①由

y=kx-k y=- 1 8 x2

，
得x²+8kx-8k=0，△=（8k）²+32k=32k（2k+1），
∵k＜0．
∴k＜-

1

2

时，△＞0，EF与抛物线有两个公共点．
当k=-

1

2

，△=0时，EF与抛物线有一个公共点．
当k＞-

1

2

，△＜0时，EF与抛物线没有公共点，
②EF与抛物线只有一个公共点时，k=-

1

2

，
EF的表达式为y=-

1

2

x+

1

2

，
EF与x轴、y轴的交点为M（1，0），E（0，

1

2

），
∵∠EMO=90°-∠OEM=∠EAA′，
∴RT△EMO∽RT△A′AD，

OE

OM

=

DA/

DA

，
即

1 2

1

=

x

2y

，
∴

x

y

=1．