题目内容
如图,已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,以直角边AB为直径作⊙O,交斜边AC于点D,连结BD。(12分)

(1)若AD=3,BD=4,求边BC的长;
(2)取BC的中点E,连结DE,求证:ED与⊙O相切。

(1)若AD=3,BD=4,求边BC的长;
(2)取BC的中点E,连结DE,求证:ED与⊙O相切。
(1)解:∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=90° ………………1分
在Rt△ABD中,AD=3,BD=4
∴AB=
=
=5 ………………2分
∵∠BAD=∠CAB ∠ADB=∠ABC=90°
∴△ADB∽△ABC ………………4分
∴
=
即
=
∴AC=
………………6分 (2)证明:连结OD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90° ∴∠BDC=90°
∴△BDC是直角三角形 …………7分
又E是BC中点
∴DE=
BC=BE ………………8分
∴∠DBE=∠BDE
∵OB=OD
∴∠OBD=∠ODB ………………10分
∴∠OBD+∠DBE=∠ODB+∠BDE
即∠ODE=∠ABC=90°
又∵OD是⊙O的半径
∴ED与⊙O相切 ………………12分
在Rt△ABD中,AD=3,BD=4
∴AB=


∵∠BAD=∠CAB ∠ADB=∠ABC=90°
∴△ADB∽△ABC ………………4分
∴




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∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90° ∴∠BDC=90°
∴△BDC是直角三角形 …………7分
又E是BC中点
∴DE=

∴∠DBE=∠BDE
∵OB=OD
∴∠OBD=∠ODB ………………10分
∴∠OBD+∠DBE=∠ODB+∠BDE
即∠ODE=∠ABC=90°
又∵OD是⊙O的半径
∴ED与⊙O相切 ………………12分
略

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