Question

如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连结BD。（12分）

（1）若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；
（2）取BC的中点E，连结DE，求证：ED与⊙O相切。

Answer 1

（1）解：∵AB是⊙O的直径　∴∠ADB＝90°　………………1分
　　　　　　在Rt△ABD中，AD＝3，BD＝4
　　　　　　∴AB＝＝＝5　 ………………2分
　　　　　　∵∠BAD＝∠CAB　∠ADB＝∠ABC＝90°
　　　　　　∴△ADB∽△ABC                 ………………4分
　　　　　　∴＝　即＝　

A

　　　　　　∴AC＝                       ………………6分

　　　（2）证明：连结OD
　　　　　　∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB＝90°　∴∠BDC＝90°
∴△BDC是直角三角形 …………7分
又E是BC中点
∴DE＝BC＝BE  ………………8分
∴∠DBE＝∠BDE
∵OB＝OD
∴∠OBD＝∠ODB ………………10分
∴∠OBD＋∠DBE＝∠ODB＋∠BDE
即∠ODE＝∠ABC＝90°
又∵OD是⊙O的半径
　∴ED与⊙O相切 ………………12分

略