Question

【题目】如图，已知直线l：y＝﹣x+8交x轴于点E，点A为x轴上的一个动点（点A不与点E重合），在直线l上取一点B（点B在x轴上方），使BE＝5AE，连结AB，以AB为边在AB的右侧作正方形ABCD，连结OB，以OB为直径作⊙P．

（1）当点A在点E左侧时，若点B落在y轴上，则AE的长为　 　，点D的坐标为　 　；

（2）若⊙P与正方形ABCD的边相切于点B，求点B的坐标；

（3）⊙P与直线BE的交点为Q，连结CQ，当CQ平分∠BCD时，BE的长为　 　．（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）2，（12，4）；（2）满足条件的点B的坐标为（﹣12，24）或（，）或（，）；（3）．

【解析】

（1）如图1中，作DG⊥x轴于G．通过证明△OBA≌△DAG即可得出点D的坐标；

（2）分三种种情形：如图2中，当点A与原点O重合时，⊙P与BC相切于点B，AE＝6，如图4中，当OB⊥AB时，⊙P与AB相切于点B，作BH⊥OA于H．分别求解即可，如图4中，当点E在点A的右侧时，作BH⊥OA于H．利用相似三角形的性质求解即可；

（3）如图5，作BG⊥OA于点G，连结OQ．设AE＝m，则BE＝5m，得到BG＝4m，EG＝3m，AG＝2m，求得B（6﹣3m，4m），C（m+6，6m），A（6﹣m，0），得到直线OQ的解析式为，求得，推出C，Q，A三点共线，解方程即可得到结论．

解：（1）如图1中，作DG⊥x轴于G．

由题意：E（6，0），B（0，8），

∴OE＝6，OB＝8，

∴BE＝＝10，

∵BE＝5AE，

∴AE＝2，

∴OA＝4，

∵∠OBA+∠OAB=∠OAB+∠DAG=90,

∴∠BAO＝∠DAG，

∵AB=DA，∠AOB＝∠DGA,

∴△OBA≌△DAG(AAS)，

∴DG=OA=4,OB=AG=8，

∴OG=OA+AG=12,

∴D（12，4），

故答案为2，（12，4）；

（2）如图2中，当点A与原点O重合时，⊙P与BC相切于点B，AE＝6，

∵BE＝5AE，

∴BE＝30，可得B（﹣12，24）．

如图3中，当OB⊥AB时，⊙P与AB相切于点B，作BH⊥OA于H．

设AE＝m，则BE＝5m，BH＝4m，EH＝3m，

∴BH＝AH＝4m，

∴∠BAO＝45°，

∵∠OBA＝90°，

∴∠BOA＝45°，

∴点B的横坐标与纵坐标相同，可得B（，），

如图4中，当点E在点A的右侧时，作BH⊥OA于H．

设BE＝5m，AE＝m，则BH＝4m，AEH＝3m，AH＝2m，

∵∠OBA＝∠OHB＝90°，

由△OHB∽△BHA，可得BH2＝OHAH，

∴16m2＝（6﹣3m）2m，

解得m＝，

∴B（，）

综上所述，满足条件的点B的坐标为（﹣12，24）或（，）或（，）；

（3）如图5，作BG⊥OA于点G，连结OQ．

设AE＝m，则BE＝5m，

∴BG＝4m，EG＝3m，AG＝2m，

∴B（6﹣3m，4m），C（m+6，6m），A（6﹣m，0），

∵OQ⊥直线l，且过圆心O，

∴直线OQ的解析式为，

∴，

∵CQ平分∠BCD，

∴C，Q，A三点共线，

∴，

解得，

∴，

span>∴，

故答案为：．