Question

【题目】在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．

（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；
（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE，EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=BC，

又∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵E是线段AC的中点，

∴∠CBE= ∠ABC=30°，AE=CE，

∵AE=CF，

∴CE=CF，

∴∠F=∠CEF，

∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，

∴∠F=30°，

∴∠CBE=∠F，

∴BE=EF

（2）证明：图2：BE=EF．

图2证明如下：过点E作EG∥BC，交AB于点G，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=BC，

又∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠ACB=60°，

又∵EG∥BC，

∴∠AGE=∠ABC=60°，

又∵∠BAC=60°，

∴△AGE是等边三角形，

∴AG=AE，

∴BG=CE，

又∵CF=AE，

∴GE=CF，

又∵∠BGE=∠ECF=120°，

∴△BGE≌△ECF（SAS），

∴BE=EF；

图3：BE=EF．

图3证明如下：过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=BC，

又∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠ACB=60°，

又∵EG∥BC，

∴∠AGE=∠ABC=60°，

又∵∠BAC=60°，

∴△AGE是等边三角形，

∴AG=AE，

∴BG=CE，

又∵CF=AE，

∴GE=CF，

又∵∠BGE=∠ECF=60°，

∴△BGE≌△ECF（SAS），

∴BE=EF

【解析】（1）根据菱形的性质结合∠ABC=60°可得△ABC是等边三角形，再求得CE=CF，然后等边对等角的性质可得∠F=∠CEF，根据三角形的一个外角的性质求出∠F=30°，从而得到∠CBE=∠F，根据等角对等边的性质即可证得BE=EF；
（2）图2，通过作辅助线，根据菱形的性质可得△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AG=AE，从而可以求出BG=CE，再根据等角的补角相等求出∠BGE=∠ECF=120°，然后利用“边角边”证明△BGE和△ECF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证BE=EF；
图3，证明思路与方法与图2完全相同．