Question

如图，在菱形ABCD中，E为边BC的中点，DE与对角线AC交于点M，过点M作MF⊥CD于点F，∠1=∠2．

求证：（1）DE⊥BC；
（2）AM=DE+MF．

Answer 1

（1）证明∠CFM=90°，△CFM≌△CEM，推出∠CEM =90°，即DE⊥BC.
（2）延长AB交DE于点N，通过中位线性质和边的等量代换，证明AM= MN，MN =NE+ME，ME=MF，所以AM=DE+MF.

试题分析：（1）证明垂直，可以通过证明角等于90°，或者找出等腰三角形利用三线合一，该题可以考虑通过证明角为90°；
∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCA=∠ACD，AB∥CD．
∴∠1=∠ACD．
∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2．
∴MC=MD．
∵MF⊥CD，∴∠CFM=90°，CF=CD．
∵E为BC的中点，∴CE=BE=BC．
∴CF= CE．
∵CM=CM，
∴△CFM≌△CEM．
∴∠CEM=∠CFM=90°，

即DE⊥BC．
（2）证明不相干的边的数量关系，可以应用边的等量代换；
延长AB交DE于点N，
∵AB∥CD，CE=BE，
∴NE=DE，∠N=∠2．
∵∠1=∠2，∴∠1=∠N．
∴AM=MN．
∵NM=NE+ME，∴AM=DE+ME．
∵ME=MF，∴AM=DE+MF．
点评：该题是常考题，主要考查学生对菱形和等腰三角形性质应用的熟练程度。