Question

已知：如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E.

(1)求证：点D是AB的中点；
(2)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(3)若⊙O的直径为18，cosB＝，求DE的长．

Answer 1

（1）AD＝BD , 即点D是AB的中点（2）DE⊥DO，OD是⊙O的半径得DE是⊙O的切线
（3）4

试题分析：(1)证明：如图，连接CD，则CD⊥AB，又∵AC＝BC，∴AD＝BD , 即点D是AB的中点．

(2)解：DE是⊙O的切线．
理由是：连接OD，则DO是△ABC的中位线，∴DO∥AC.
又∵DE⊥AC，∴DE⊥DO，又∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
(3)  ∵AC＝BC，∴∠B＝∠A，∴cos∠B＝cos∠A＝.
∵cos∠B＝＝，BC＝18，∴BD＝6，∴AD＝6.
∵cos∠A＝＝，  ∴AE＝2.
在Rt△AED中，DE＝＝4
点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握判定直线与圆的位置关系是解本题的关键，此类题属常考题型