题目内容
⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，AE⊥DC交DC于
点E．
（1）求证：AC是∠EAB的平分线；
（2）若圆的半径为3，BD=2，DC=4，求AE和BC．
点E．（1）求证：AC是∠EAB的平分线；
（2）若圆的半径为3，BD=2，DC=4，求AE和BC．
（1）证明：连接OC，
∵ED为圆O的切线，
∴OC⊥ED，
又AE⊥ED，
∴OC∥EA，
∴∠EAC=∠ACO，
又OA=OC，∴∠OAC=∠ACO，
∴∠EAC=∠OAC，即AC是∠EAB的平分线；
（2）∵OC∥AE，
∴∠OCD=∠E，∠COD=∠EAD，
∴△OCD∽△DEA，
∴
=
，即
=
，
解得：AE=
，
∵CD=4，BD=2，AD=8，
即CD2=BD•AD，且夹角∠D为公共角，
∴△BCD∽△ACD，且相似比=
=
，
∴
=
，即AC=2BC，
∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
即4BC2+BC2=36，解得：BC=
．
∵ED为圆O的切线，
∴OC⊥ED，
又AE⊥ED，
∴OC∥EA，
∴∠EAC=∠ACO，
又OA=OC，∴∠OAC=∠ACO，
∴∠EAC=∠OAC，即AC是∠EAB的平分线；
（2）∵OC∥AE，
∴∠OCD=∠E，∠COD=∠EAD，
∴△OCD∽△DEA，
∴
| OC |
| AE |
| OD |
| AD |
| 3 |
| AE |
| 5 |
| 8 |
解得：AE=
| 24 |
| 5 |
∵CD=4，BD=2，AD=8，
即CD2=BD•AD，且夹角∠D为公共角，
∴△BCD∽△ACD，且相似比=
| 4 |
| 8 |
| 1 |
| 2 |
∴
| BC |
| AC |
| 1 |
| 2 |
∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
即4BC2+BC2=36，解得：BC=
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练习册系列答案
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，垂足为F．
