Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且DO平行于⊙O的弦MB，连DM并延长交x轴于点C．
（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）设点D的坐标为（-2，4），①求MC的长；②若动点P从点A出发向点D匀速运动，速度是每秒1个单位长；同时点Q从点D出发向点C匀速运动，速度是每秒2个单位长；其中一个点到达终点时运动即结束．连接PQ交OD于点H，当△PDH为直角三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

证明：（1）如图，连OM．
∵DO∥MB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OB=OM，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠4．
在△DAO与△DMO中，

AO=OM ∠2=∠4 DO=DO

，
∴△DAO≌△DMO．
∴∠OMD=∠OAD．
∵FA⊥x轴于点A，
∴∠OAD=90°．
∴∠OMD=90°．
即OM⊥DC．
∴DC切⊙O于M．（4分）

（2）
①∵D（-2，4），
∴OA=2（即⊙O的半径），AD=4．
由（1）知DM=AD=4，
∵△OMC∽△DAC，
∴

MC

AC

=

OM

AD

=

2

4

=

1

2

．
∴AC=2MC．
在Rt△ACD中，CD=MC+4，
∵（2MC）²+4²=（MC+4）²
∴MC=

8

3

或MC=0（不合，舍去），
∴MC的长为

8

3

．（8分）

②由①知CD=

20

3

．
当∠PHD=90°时，由切线长性质定理知DO平分∠PDQ，
∴PD=QD．
∴4-t=2t，t=

4

3

（符合题意）．
∴P（-2，

4

3

）．（10分）
当∠DPH=90°时，PQ∥AC，
∴△DPQ∽△DAC．
∴

DP

DA

=

DQ

DC

．
即

4-t

4

=

2t

20 3

，t=

20

11

（符合题意）．
∴P（-2，

20

11

）．（12分）