题目内容
如图,正方形OABC边长为2,O是直角坐标系的原点,点A,C分别在x轴,y轴上.点P沿着正方形的边,按O→A→B的顺序运动,设点P经过的路程为x,△OPB的面积为y.
(1)求出y与x之间的函数关系式,写出自变量x的取值范围;
(2)探索:当y=
时,点P的坐标;
(3)是否存在经过点(0,-1)的直线平分正方形OABC的面积?如果存在,求出这条直线的解析式;如果不存在,请说明理由.
(1)求出y与x之间的函数关系式,写出自变量x的取值范围;
(2)探索:当y=
1 |
4 |
(3)是否存在经过点(0,-1)的直线平分正方形OABC的面积?如果存在,求出这条直线的解析式;如果不存在,请说明理由.
(1)分两种情况:
①当点P在线段OA上运动时,如图1,
y=
x×2,
即y=x,0<x≤2;
②当点P在线段AB上运动时(不含点A),如图2,
y=
(4-x)×2,
即y=-x+4,2<x<4;
(2)由题意可知:
①
=x,
此时,点P(
,0),
②
=-x+4,
x=
,
x-2=
.
此时,点P(2,
),
综合(2)中的①,②可得P(
,0)或P(2,
);
(3)如图3,存在满足条件的直线.
设这条直线的解析式为y=kx-1,
由于直线平分正方形OABC的面积,可得:OM=BN,延长AB,交直线与点H,
∵△POM≌△HBN,
∴BH=OP=1,
∴H(2,3),
由点H在直线上,得3=2k-1,
∴k=2,
∴所求直线的解析式为y=2x-1,
另法:由直线平分正方形AOCB的面积,
可知,直线过正方形AOCB的中心.
∴直线过(1,1)点,
∴直线的解析式为y=2x-1.
①当点P在线段OA上运动时,如图1,
y=
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2 |
即y=x,0<x≤2;
②当点P在线段AB上运动时(不含点A),如图2,
y=
1 |
2 |
即y=-x+4,2<x<4;
(2)由题意可知:
①
1 |
4 |
此时,点P(
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4 |
②
1 |
4 |
x=
15 |
4 |
x-2=
7 |
4 |
此时,点P(2,
7 |
4 |
综合(2)中的①,②可得P(
1 |
4 |
7 |
4 |
(3)如图3,存在满足条件的直线.
设这条直线的解析式为y=kx-1,
由于直线平分正方形OABC的面积,可得:OM=BN,延长AB,交直线与点H,
∵△POM≌△HBN,
∴BH=OP=1,
∴H(2,3),
由点H在直线上,得3=2k-1,
∴k=2,
∴所求直线的解析式为y=2x-1,
另法:由直线平分正方形AOCB的面积,
可知,直线过正方形AOCB的中心.
∴直线过(1,1)点,
∴直线的解析式为y=2x-1.
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