Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-

1

2

x+b(b＞0)分别交x轴、y轴于A、B两点．点C（4，0）、D（8，0），以CD为一边在x轴上方作矩形CDEF，且CF：CD=1：2．设矩形CDEF与△ABO重叠部分的面积为S．
（1）求点E、F的坐标；
（2）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式；
（3）若在直线y=-

1

2

x+b(b＞0)上存在点Q，使∠OQC等于90°，请直接写出b的取值范围．

Answer 1

（1）∵C（4，0）D（8，0），
∴CD=4，
∵矩形CDEF，且CF：CD=1：2
∴CF=DE=2，
∵E、F在第一象限
∴E（8，2），F（4，2）；

（2）由题意知：A（2b，0）B（0，b）在直角三角形ADH中，tan∠BAO=

1

2

①当0＜b≤2时，如图，S=0
②当2＜b≤4时，如图，设AB交CF于G，AC=2b-4
∵在直角三角形中，tan∠BAO=

1

2

∴CG=b-2
∴S=

1

2

(2b-4)(b-2)，即S=b²-4b+4
③当4＜b≤6，如图，设AB交EF于点G
AD=2b-8
∵在直角三角形ADH中，tan∠BAO=

1

2

∴DH=b-4 EH=6-b
在矩形CDEF中
∵CD∥EF
∴∠EGH=∠BAO
在直角三角形EGH中tan∠EGH=

EH

EG

=

1

2

∴EG=12-2b
∴S=2×4-

1

2

(12-2b)(6-b)=-b²+12b-28
④当b＞6时，如图，S=8；

（3）设Q（x，-

1

2

x+b），
∵∠OQC=90°，
∴OQ²+CQ²=OC²，
∴[x²+（-

1

2

x+b）²]+[（x-4）²+（-

1

2

x+b）²]=16，
∵存在Q，
∴△≥0，
求得：b≤

5

+1，
由已知可得：0＜b≤

5

+1．