题目内容
【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4SBOC ， 求点P的坐标；
（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．
【答案】
（1）
解：把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得
，
解得
．
故该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．
（2）
解：由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，则易得B（1，0）．
∵S△AOP=4S△BOC，
∴
×3×|﹣x2﹣2x+3|=4××1×3．
整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0，
解得x=﹣1或x=﹣1±
．
则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4）或（﹣1+，﹣4）或（﹣1﹣，﹣4）；
（3）
解：设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，3）代入，
得
，
解得
．
即直线AC的解析式为y=x+3．
设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），
QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+
）2+
，
∴当x=
时，QD有最大值．
【解析】（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；
（2）设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），根据S△AOP=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，再设Q点坐标为（x，x+3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．
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