题目内容
已知如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．过点F作FM垂直于DC，交直线DC于M．
（1）如果DG=2，那么FM=______（画出对应图形会变得更简单！）
（2）当E，G在正方形边上移动时，猜测FM的值是否发生改变，并证明你的结论．
（3）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积S；判断S能否等于1，若能求x的值，若不能请说明理由．
（温馨提示：不要忘记顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上哦！）
（1）如果DG=2，那么FM=______（画出对应图形会变得更简单！）
（2）当E，G在正方形边上移动时，猜测FM的值是否发生改变，并证明你的结论．
（3）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积S；判断S能否等于1，若能求x的值，若不能请说明理由．
（温馨提示：不要忘记顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上哦！）
（1）如图所示，∵AH=2，DG=2，
∴AH=DG，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
在Rt△AEH与Rt△DHG中，
，
∴Rt△AEH≌Rt△DHG（HL），
∴AE=DH，∠AEH=∠DHG，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠AHE+∠DHG=90°，
∴∠GHE=180°-90°=90°，
∴菱形EFGH是正方形，
由图形可知△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，
∴FM=DG=2，
故答案为：2；
（2）FM的值不会发生改变．理由如下：
如图，过点F作FN∥DM，
∵正方形ABCD中AB∥CD，
∴FN∥AB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵四边形EFGH是菱形，
∴∠HEF+∠GFE=180°，
即∠2+∠3+∠HEF=180°，
又∠4+∠5+∠HEF=180°，
∴∠1=∠5，
在△AEH与△MGF中，
，
∴△AEH≌△MGF（AAS），
∴FM=AH，
∵AH=2，
∴FM=2，是常数不变；
（3）结合图形可得，S=
CG•FM=
×（6-x）×2=6-x，
假设S能等于1，则x=5，
∴DG=5，
在Rt△HDG中，HG2=DH2+DG2，
即HG2=（6-2）2+（6-1）2=16+25=41，
∴菱形EFGH的边HE2=41，
在Rt△AEH中，AE=
=
=
＞6，
∵AB=6，
∴点E在AB的延长线上，不在边AB上，不符合题意，
∴假设不成立，即S不能等于1．
∴AH=DG，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
在Rt△AEH与Rt△DHG中，
|
∴Rt△AEH≌Rt△DHG（HL），
∴AE=DH，∠AEH=∠DHG，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠AHE+∠DHG=90°，
∴∠GHE=180°-90°=90°，
∴菱形EFGH是正方形，
由图形可知△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，
∴FM=DG=2，
故答案为：2；
（2）FM的值不会发生改变．理由如下：
如图，过点F作FN∥DM，
∵正方形ABCD中AB∥CD，
∴FN∥AB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵四边形EFGH是菱形，
∴∠HEF+∠GFE=180°，
即∠2+∠3+∠HEF=180°，
又∠4+∠5+∠HEF=180°，
∴∠1=∠5，
在△AEH与△MGF中，
|
∴△AEH≌△MGF（AAS），
∴FM=AH，
∵AH=2，
∴FM=2，是常数不变；
（3）结合图形可得，S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
假设S能等于1，则x=5，
∴DG=5，
在Rt△HDG中，HG2=DH2+DG2，
即HG2=（6-2）2+（6-1）2=16+25=41，
∴菱形EFGH的边HE2=41，
在Rt△AEH中，AE=
| HE2-AH2 |
| 41-22 |
| 37 |
∵AB=6，
∴点E在AB的延长线上，不在边AB上，不符合题意，
∴假设不成立，即S不能等于1．
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