Question

如图，正方形ABCD，O是正方形中心，P为OA上一点，PB⊥PE交CD于E．
（1）求证：PB=PE；
（2）试写出PA，PC，CE三者之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥CD与G，
∴∠PFC=∠PGC=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°，
∴四边形PFCG是矩形．
∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴AC是∠BCD的角平分线．
∴PF=PG．
∴四边形PFCG是正方形．
∴PF=PG．∠FPG=90°
∵PB⊥PE，
∴∠BPE=90°，
∴∠FPG=∠BPE，
∴∠FPG-∠FPE=∠BPE-∠FPE，
∴∠2=∠1．
∵在△PGE和△PFB中，

∠2=∠1 PG=PF ∠PGE=∠PFB

，
∴△PGE≌△PFB（ASA），
∴PB=PE；

（2）PC=PA+

2

CE．
将△PEC绕点P顺时针旋转180°，连结E′A，E′B，BE．
∴PC=PC′，∠C=∠PCE=45°，C′E′=CE，PE′PE，
∴C′E′∥CD．
∵AB∥CD，
∴C′E∥AB．
∵PE′=PB=PE，
∴∠E′BE=90°，BE′=BE，
∴∠3+∠ABE=∠4+∠ABE，
∴∠3=∠4．
∵在△AE′B和△CEB中

BE′=BE ∠3=∠4 AB=CB

，
∴△AE′B≌△CEB（SAS），
∴∠E′AB=∠BCE=90°．
∵C′E∥AB．
∴∠C′E′A=90°，
∴AC′=

2

C′E′=

2

CE．
∵PC′=PA+AC′，
∴PC=PA+

2

CE．