题目内容
如图，在正方形ABCD，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=
BC．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若△AEF的面积为5，求正方形ABCD的边长．
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（1）求证：AF⊥EF；
（2）若△AEF的面积为5，求正方形ABCD的边长．
证明：（1）：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠D=90°，
∵F是CD中点，
∴DF=CF=
CD=
AD，
∵CE=
BC=
CD，
∴CE：DF=CF：AD=1：2，
∴Rt△CEF∽Rt△DFA，
∴∠FAD=∠EFC，
∵∠DAF+∠DFA=90°，
∴∠EFC+∠DFA=90°，
∴∠EFA=180°-90°=90°．
∴AF⊥EF；
（2）设CE=x，则DF=CF=2x，AD=4x，
S△AEF=
×2
x×
x=5，
解之得，x=1
所以正方形的边长为4x=4．
∴∠C=∠D=90°，
∵F是CD中点，
∴DF=CF=
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∵CE=
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∴CE：DF=CF：AD=1：2，
∴Rt△CEF∽Rt△DFA，
∴∠FAD=∠EFC，
∵∠DAF+∠DFA=90°，
∴∠EFC+∠DFA=90°，
∴∠EFA=180°-90°=90°．
∴AF⊥EF；
（2）设CE=x，则DF=CF=2x，AD=4x，
S△AEF=
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解之得，x=1
所以正方形的边长为4x=4．
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