Question

在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点P（m，-1）（m＞0）．连接OP，将线段OP绕点O按逆时针方向旋转90°得到线段OM，且点M是抛物线y=ax²+bx+c的顶点．
（1）若m=1，抛物线y=ax²+bx+c经过点（2，2），当0≤x≤1时，求y的取值范围；
（2）已知点A（1，0），若抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点B，直线AB与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个交点，请判断△BOM的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）∵线段OP绕点O按逆时针方向旋转90°得到线段OM
∴∠POM=90°，OP=OM
过点P（m，-1）作PQ⊥x轴于Q，过点M作MN⊥y轴于N，
∵∠POQ+∠MOQ=90°
∠MON+∠MOQ=90°
∴∠MON=∠POQ
∴∠ONM=∠OQP=90°
∴△MON≌△OPQ
∴MN=PQ=1，ON=OQ=m
∴M（1，m）
∵m=1
∴M（1，1）
∵点M是抛物线y=a（x-1）²+1
∵抛物线经过点（2，2）
∴a=1
∴y=（x-1）²+1
∴此抛物线开口向上，对称轴为x=1
∴当x=0时，y=2，
当x=1时，y=1
∴y的取值范围为1≤y≤2．

（2）∵点M（1，m）是抛物线y=ax²+bx+c的顶点
∴可设抛物线为y=a（x-1）²+m
∵y=a（x-1）²+m=ax²-2ax+a+m
∴B（0，a+m）
又∵A（1，0）
∴直线AB的解析式为y=-（a+m）x+（a+m）
解方程组

y=ax2-2ax+a+m y=-(a+m)x+(a+m)

得ax²+（m-a）x=0
∵直线AB与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个交点，
∴△=（m-a）²=0
∴m=a
∴B（0，2m）．
在Rt△ONM中，由勾股定理得
OM²=MN²+ON²=1+m²
∴BM=OM
∴△BOM是等腰三角形．