Question

在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=2x²沿y轴向上平移1个单位，再沿x轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线x=3与平移后的抛物线相交于B，与直线OA相交于C．
（1）抛物线解析式；
（2）求△ABC面积；
（3）点P在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP与△ABC相似，求所有满足条件的P点坐标．

Answer 1

（1）将抛物线y=2x²沿y轴向上平移1个单位，则y=2x²+1，
再沿x轴向右平移两个单位后y=2（x-2）²+1，
所以平移后抛物线的解析式为y=2（x-2）²+1；

（2）∵平移后抛物线的解析式为y=2（x-2）²+1．
∴A点坐标为（2，1），
设直线OA解析式为y=kx，将A（2，1）代入
得k=

1

2

，
∴直线OA解析式为y=

1

2

x，
将x=3代入y=

1

2

x得；y=

3

2

，
∴C点坐标为（3，

3

2

），
将x=3代入y=2（x-2）²+1得y=3，
∴B点坐标为（3，3）．
∴S_△ABC

3

4

；

（3）∵PA∥BC，
∴∠PAB=∠ABC
①当∠PBA=∠BAC时，PB∥AC，
∴四边形PACB是平行四边形，
∴PA=BC=

3

2

，
∴P₁（2，

5

2

），
②当∠APB=∠BAC时，

AP

AB

=

AB

BC

，
∴AP=

AB2

BC

，
又∵AB=

(3-2)2+(3-1)2

=

5

，
∴AP=

10

3

，
∴P₂（2，1+

10

3

）即P₂（2，

13

3

）．
综上所述满足条件的P点有（2，

5

2

），（2，

13

3

）．