题目内容

已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），顶点M的纵坐标为-3，若x1，x2是关于方程x2+（m+1）x+m2-12=0（其中m＜0）的两个根，且x12+x22=10．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于四边形ACBM的面积的2倍？若存在，求出所有符合条件点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）∵若x1，x2是方程x2+（m+1）x+m2-12=0的两个实数根，
由题意得：x1+x2=-
b
a
=-（m+1），x1x2=
c
a
=m2-12，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（m+1）2-2（m2-12）=10，
化简，得-m2+2m+15=0，
解得m=5或-3，
∵m＜0，
∴m=-3，．
∴原方程可写成：x2-2x-3=0，
∵x1＜x2，
∴x1=-1，x2=3；
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）已知：A（-1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为x=1，
因此抛物线的顶点坐标为（1，-3），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
则有：-3=a（1+1）（1-3），
解得：a=
3
4
；
∴y=
3
4
（x-3）（x+1）=
3
4
x2-
3
2
x-
9
4
；

（3）S四边形ACMB=S△AOC+S梯形OCMN+S△NBM
=
1
2
OA•OC+
1
2
（OC+MN）•ON+
1
2
NB•MN
=
1
2
×1×
9
4
+
1
2
×（
9
4
+3）×1+
1
2
×2×3
=
27
4
．
假设存在P（x0，y0）使得S△PAB=2S四边形ACMB=
27
2
，
即：
1
2
AB|y0|=
27
2
，
1
2
×4×|y0|=
27
2
，
∴y0=±
27
4
；
当y0=
27
4
时，
3
4
x2-
3
2
x-
9
4
=
27
4
，解得x1=1-
13
，x2=1+
13
；
当y0=-
27
4
时，
3
4
x2-
3
2
x-
9
4
=-
27
4
，此方程无实数根．
∴存在符合条件的P点，且坐标为（1-
13
，
27
4
），（1+
13
，
27
4
）．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点P（m，-1）（m＞0）．连接OP，将线段OP绕点O按逆时针方向旋转90°得到线段OM，且点M是抛物线y=ax2+bx+c的顶点．
（1）若m=1，抛物线y=ax2+bx+c经过点（2，2），当0≤x≤1时，求y的取值范围；
（2）已知点A（1，0），若抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点B，直线AB与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点，请判断△BOM的形状，并说明理由．
如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=
1
2
x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点C是AB的中点，CD⊥AB且CD=AB．直线BE与y轴平行，点F是射线BE上的一个动点，连接AD、AF、DF．
（1）若点F的坐标为（
9
2
，1），AF=
17
．
①求此抛物线的解析式；
②点P是此抛物线上一个动点，点Q在此抛物线的对称轴上，以点A、F、P、Q为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；
（2）若2b+c=-2，b=-2-t，且AB的长为kt，其中t＞0．如图2，当∠DAF=45°时，求k的值和∠DFA的正切值．
在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，点P在AB上，PA=1，AO=2．经过原点的抛物线y=mx2-x+n的对称轴是直线x=2．
（1）求出该抛物线的解析式．
（2）如图1，将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处，两直角边恰好分别经过点O和C．现在利用图2进行如下探究：
①将三角板从图1中的位置开始，绕点P顺时针旋转，两直角边分别交OA、OC于点E、F，当点E和点A重合时停止旋转．请你观察、猜想，在这个过程中，
PE
PF
的值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出
PE
PF
的值．
②设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为D，顶点为M，在①的旋转过程中，是否存在点F，使△DMF为等腰三角形？若不存在，请说明理由．
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+n与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（-2，0）．
（1）求B点坐标；
（2）直线y=
1
2
x+4m+n经过点B．
①求直线和抛物线的解析式；
②点P在抛物线上，过点P作y轴的垂线l，垂足为D（0，d）．将抛物线在直线l上方的部分沿直线l翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G．请结合图象回答：当图象G与直线y=
1
2
x+4m+n只有两个公共点时，d的取值范围是______．
某镇地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售．镇政府对该花木产品每年固定投资x万元，所获利润为P=-
1
50
(x-30)2+10万元．为了响应我国西部大开发的宏伟决策，镇政府在制定经济发展的10年规划时，拟定开发花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元．若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路；后5年公路修通时，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每年固定投资x万元可获利润Q=-
49
50
(50-x)2+
194
5
(50-x)+308万元．
（1）若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？
（2）若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？
（3）若按此规划进行开发后，后5年所获利润共为2400万元，那么当本地销售投资金额大于外地销售投资金额时，每年用于本地销售投资的金额约为多少万元？（
13
≈3.606，
55
≈7.416，计算结果保留1位小数）
如图，抛物线y=-x2+5x+m经过点A（1，0），与y轴交于点B，
（1）求m的值；
（2）若抛物线与x轴的另一交点为C，求△CAB的面积；
（3）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标．
用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图1，2中的一种）．

设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD，AB平行）
（Ⅰ）在图1中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？
（Ⅱ）在图2中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（　　）
A．y=x2-x-2B．y=-
1
2
x2-
1
2
x+2
C．y=-
1
2
x2-
1
2
x+1		D．y=-x2+x+2

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