Question

在直角坐标系xOy 中，已知某二次函数的图象经过A（－4，0）、B（0，－3），与x轴的正半轴相交于点C，若△AOB∽△BOC（相似比不为1）．
小题1:（1）求这个二次函数的解析式；
小题2:（2）求△ABC的外接圆半径r；
小题3:（3）在线段AC上是否存在点M（m，0），使得以线段BM为直径的圆与线段AB交于N点，且以点O、A、N为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

小题1:⑴∵△AOB∽△BOC（相似比不为1），
∴. 又∵OA="4," OB=3,
∴OC=3²×=. ∴点C(, 0).                         …………………1分
设图象经过A、B、C三点的函数解析式是y=ax²+bx+c,
则c= -3，且                       …………………2分
即
解得,a=, b=.
∴这个函数的解析式是y =x²+x-3. 
小题2:⑵∵△AOB∽△BOC（相似比不为1），
∴∠BAO=∠CBO.
又∵∠ABO+ ∠BAO =90°，
∴∠ABC=∠ABO+∠CBO=∠ABO+∠BAO=90°.             ………………4分
∴AC是△ABC外接圆的直径.
∴ r =AC=×[-(-4)]=.
小题3:⑶∵点N在以BM为直径的圆上，
∴∠MNB=90°.                                     ……………………6分
①.    当AN=ON时，点N在OA的中垂线上，
∴点N₁是AB的中点，M₁是AC的中点.
       ∴AM₁=" r" =，点M₁(-, 0)，即m₁= -.             ………………7分
②.     当AN=OA时，Rt△AM₂N₂≌Rt△ABO，
∴AM₂=AB=5，点M₂(1, 0)，即m₂=1.
③. 当ON=OA时，点N显然不能在线段AB上.
综上，符合题意的点M（m，0）存在，有两解：
m= -，或1.   

略