28. 解：(1)∵D(－8，0)，∴B点的横坐标为－8，代入中，得y＝－2.

∴B点坐标为(－8，－2).而A、B两点关于原点对称，∴A(8，2)

从而k＝8×2＝16

(2)∵N(0，－n)，B是CD的中点，A，B，M，E四点均在双曲线上,

∴mn＝k，B(－2m，－)，C(－2m，－n)，E(－m，－n)

＝2mn＝2k，＝mn＝k，＝mn＝k.

∴＝――＝k.∴k＝4.

由直线及双曲线，得A(4，1)，B(－4，－1)

∴C(－4，－2)，M(2，2)

设直线CM的解析式是，由C、M两点在这条直线上，得

，解得a＝b＝

∴直线CM的解析式是y＝x+.

(3)如图，分别作AA₁⊥x轴，MM₁⊥x轴，垂足分别为A₁，M₁

设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a.于是，

同理

∴p－q＝－＝－2

27. 解：(1)由题意：BP＝tcm，AQ＝2tcm，则CQ＝(4－2t)cm，

∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝5cm

∴AP＝(5－t)cm，

∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，

∴AP∶AB＝AQ∶AC，即(5－t)∶5＝2t∶4，解得：t＝

∴当t为秒时，PQ∥BC

………………2分

(2)过点Q作QD⊥AB于点D，则易证△AQD∽△ABC

∴AQ∶QD＝AB∶BC

∴2t∶DQ＝5∶3，∴DQ＝

∴△APQ的面积：×AP×QD＝(5－t)×

∴y与t之间的函数关系式为：y＝

………………5分

(3)由题意：

　　 当面积被平分时有：＝××3×4，解得：t＝

　　 当周长被平分时：(5－t)+2t＝t+(4－2t)+3，解得：t＝1

∴不存在这样t的值

………………8分

(4)过点P作PE⊥BC于E

　 易证：△PAE∽△ABC，当PE＝QC时，△PQC为等腰三角形，此时△QCP′为菱形

∵△PAE∽△ABC，∴PE∶PB＝AC∶AB，∴PE∶t＝4∶5，解得：PE＝

∵QC＝4－2t，∴2×＝4－2t,解得：t＝

∴当t＝时，四边形PQP′C为菱形

此时，PE＝，BE＝，∴CE＝

………………10分

在Rt△CPE中，根据勾股定理可知：PC＝＝＝

∴此菱形的边长为cm　　 ………………12分

26. 解：方案一：由题意可得：，

点到甲村的最短距离为．······································································· (1分)

点到乙村的最短距离为．

将供水站建在点处时，管道沿铁路建设的长度之和最小．

即最小值为．········································································ (3分)

方案二：如图①，作点关于射线的对称点，则，连接交于点，则．

，．·········································································· (4分)

在中，

，，

，两点重合．即过点．············································· (6分)

在线段上任取一点，连接，则．

，

把供水站建在乙村的点处，管道沿线路铺设的长度之和最小．

即最小值为．··········· (7分)

方案三：作点关于射线的对称点，连接，则．

作于点，交于点，交于点，

为点到的最短距离，即．

在中，，，

．．

，两点重合，即过点．

在中，，．············································· (10分)

在线段上任取一点，过作于点，连接．

显然．

把供水站建在甲村的处，管道沿线路铺设的长度之和最小．

即最小值为．································································ (11分)

综上，，供水站建在处，所需铺设的管道长度最短．········ (12分)

25. 解：(1)取中点，联结，

为的中点，，．································· (1分)

又，．··········································································· (1分)

，得；······································ (2分)(1分)

(2)由已知得．··································································· (1分)

以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，

，即．·························· (2分)

解得，即线段的长为；······································································· (1分)

(3)由已知，以为顶点的三角形与相似，

又易证得．··············································································· (1分)

由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．

①当时，，．．

，易得．得；······················································· (2分)

②当时，，．

．又，．

，即，得．

解得，(舍去)．即线段的长为2．········································ (2分)

综上所述，所求线段的长为8或2．

24. 解：(1)∵点在上，

∴，

∴，

∴.

(2)连结， 由题意易知，

∴.

(3)正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆.

第一种情况：当b>2a时，存在最大值及最小值；

因为的边，故当F点到BD的距离取得最大、最小值时，取得最大、最小值.

如图②所示时，

的最大值=

的最小值=

第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值；

的最大值=.(如果答案为4a²或b²也可)

23. 解(Ⅰ)当，时，抛物线为，

方程的两个根为，．

∴该抛物线与轴公共点的坐标是和．　 ················································ 2分

(Ⅱ)当时，抛物线为，且与轴有公共点．

对于方程，判别式≥0，有≤． ········································ 3分

①当时，由方程，解得．

此时抛物线为与轴只有一个公共点．································· 4分

②当时，

时，，

时，．

由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，

应有　 即

解得．

综上，或．　　 ················································································ 6分

(Ⅲ)对于二次函数，

由已知时，；时，，

又，∴．

于是．而，∴，即．

∴．　 ············································································································ 　7分

∵关于的一元二次方程的判别式

，　 　

∴抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方．····························· 8分

又该抛物线的对称轴，

由，，，

得，

∴．

又由已知时，；时，，观察图象，

可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点． ············································ 10分

22. 解：( 1)由已知得：解得

c=3,b=2

∴抛物线的线的解析式为

(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1，4)

所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0)

设对称轴与x轴的交点为F

所以四边形ABDE的面积=

=

=

=9

(3)相似

如图，BD=

BE=

DE=

所以, 即： ,所以是直角三角形

所以,且,

所以.

21.解：

(1)m=-5,n=-3

　 (2)y=x+2

(3)是定值.

因为点D为∠ACB的平分线，所以可设点D到边AC,BC的距离均为h，

设△ABC AB边上的高为H,

则利用面积法可得：

(CM+CN)h=MN﹒H

又 H=

化简可得　 (CM+CN)﹒

故 　　　　

20. 解：(1)如图，过点B作BD⊥OA于点D.

　　　 在Rt△ABD中，

　　　 ∵∣AB∣=,sin∠OAB=,

　　　 ∴∣BD∣=∣AB∣·sin∠OAB

　　　　　　　 =×=3.

又由勾股定理，得

∴∣OD∣=∣OA∣-∣AD∣=10-6=4.

∵点B在第一象限，∴点B的坐标为(4，3).　　　　　　　　　　　　 ……3分

设经过O(0,0)、C(4，-3)、A(10,0)三点的抛物线的函数表达式为

　　 y=ax²+bx(a≠0).

由

∴经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式为　　　　　　 ……2分

(2)假设在(1)中的抛物线上存在点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形

　 ①∵点C(4，-3)不是抛物线的顶点，

∴过点C做直线OA的平行线与抛物线交于点P₁ 　.

则直线CP₁的函数表达式为y=-3.

对于，令y=-3x=4或x=6.

∴

而点C(4，-3)，∴P₁(6,-3).

在四边形P₁AOC中，CP₁∥OA,显然∣CP₁∣≠∣OA∣.

∴点P₁(6，-3)是符合要求的点.　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

②若AP₂∥CO.设直线CO的函数表达式为

　 将点C(4，-3)代入，得

∴直线CO的函数表达式为

　 于是可设直线AP₂的函数表达式为

将点A(10，0)代入，得

∴直线AP₂的函数表达式为

由，即(x-10)(x+6)=0.

∴

而点A(10，0)，∴P₂(-6，12).

过点P₂作P₂E⊥x轴于点E，则∣P₂E∣=12.

在Rt△AP₂E中，由勾股定理，得

而∣CO∣=∣OB∣=5.

∴在四边形P₂OCA中，AP₂∥CO,但∣AP₂∣≠∣CO∣.

∴点P₂(-6，12)是符合要求的点.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

③若OP₃∥CA,设直线CA的函数表达式为y=k₂x+b₂

　 将点A(10,0)、C(4,-3)代入，得

∴直线CA的函数表达式为

∴直线OP₃的函数表达式为

由即x(x-14)=0.

∴

而点O(0,0),∴P₃(14，7).

过点P₃作P₃E⊥x轴于点E，则∣P₃E∣=7.

在Rt△OP₃E中，由勾股定理，得

而∣CA∣=∣AB∣=.

∴在四边形P₃OCA中，OP₃∥CA,但∣OP₃∣≠∣CA∣.

∴点P₃(14，7)是符合要求的点.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

综上可知，在(1)中的抛物线上存在点P₁(6,-3)、P₂(-6,12)、P₃(14,7),

使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形.　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

(3)由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下.

　①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y轴的副半轴交与点N.

可设抛物线的函数表达式为(a＞0).

即

如图，过点M作MG⊥x轴于点G.

∵Q(-2k，0)、R(5k，0)、G(、N(0，-10ak²)、M

∴

∴　　　　　　　　　　　　　　　 ……2分

②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y轴的正半轴交于点N，

　 同理，可得　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　……1分

综上所知，的值为3：20.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

19. 解：(1)在中，令

，

，····················································· 1分

又点在上

的解析式为···················································································· 2分

(2)由，得　 ·························································· 4分

，

，····································································································· 5分

······························································································· 6分

(3)过点作于点

····································································································· 7分

················································································································ 8分

由直线可得：

在中，，，则

，····························································································· 9分

·························································································· 10分

··································································································· 11分

此抛物线开口向下，当时，

当点运动2秒时，的面积达到最大，最大为．