摘要： 解:(1)如图.过点B作BD⊥OA于点D. 在Rt△ABD中. ∵∣AB∣=,sin∠OAB=, ∴∣BD∣=∣AB∣·sin∠OAB =×=3. 又由勾股定理.得 ∴∣OD∣=∣OA∣-∣AD∣=10-6=4. ∵点B在第一象限.∴点B的坐标为(4.3). --3分 设经过O三点的抛物线的函数表达式为 y=ax2+bx. 由 ∴经过O.C.A三点的抛物线的函数表达式为 --2分 中的抛物线上存在点P.使以P.O.C.A为顶点的四边形为梯形 ①∵点C不是抛物线的顶点. ∴过点C做直线OA的平行线与抛物线交于点P1 . 则直线CP1的函数表达式为y=-3. 对于.令y=-3x=4或x=6. ∴ 而点C.∴P1. 在四边形P1AOC中.CP1∥OA,显然∣CP1∣≠∣OA∣. ∴点P1是符合要求的点. --1分 ②若AP2∥CO.设直线CO的函数表达式为 将点C代入.得 ∴直线CO的函数表达式为 于是可设直线AP2的函数表达式为 将点A代入.得 ∴直线AP2的函数表达式为 由.即=0. ∴ 而点A.∴P2. 过点P2作P2E⊥x轴于点E.则∣P2E∣=12. 在Rt△AP2E中.由勾股定理.得 而∣CO∣=∣OB∣=5. ∴在四边形P2OCA中.AP2∥CO,但∣AP2∣≠∣CO∣. ∴点P2是符合要求的点. --1分 ③若OP3∥CA,设直线CA的函数表达式为y=k2x+b2 将点A代入.得 ∴直线CA的函数表达式为 ∴直线OP3的函数表达式为 由即x=0. ∴ 而点O(0,0),∴P3. 过点P3作P3E⊥x轴于点E.则∣P3E∣=7. 在Rt△OP3E中.由勾股定理.得 而∣CA∣=∣AB∣=. ∴在四边形P3OCA中.OP3∥CA,但∣OP3∣≠∣CA∣. ∴点P3是符合要求的点. --1分 综上可知.在(1)中的抛物线上存在点P1.P2.P3, 使以P.O.C.A为顶点的四边形为梯形. --1分 (3)由题知.抛物线的开口可能向上.也可能向下. ①当抛物线开口向上时.则此抛物线与y轴的副半轴交与点N. 可设抛物线的函数表达式为. 即 如图.过点M作MG⊥x轴于点G. ∵Q.G(.N(0.-10ak2).M ∴ ∴ --2分 ②当抛物线开口向下时.则此抛物线与y轴的正半轴交于点N. 同理.可得 --1分 综上所知.的值为3:20. --1分

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