[例3]如图所示，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，

PD=AD=2.

　　 (1)求异面直线PC与BD所成的角；

　　 (2)在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？

　　　　 若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由.

　 命题意图：立体几何问题主要考点是底面为四边形的柱体或锥体或折叠问题，主要考距离、二面角、线面垂直、平行。重点是处理空间线、面关系的能力，运动的观点、探究、开放的思想(存在性问题)。从这个角度来看，变化并不大，题目的难度也不大，属中档题的范畴，但是还要关注立体几何试题命题的一些变化趋势，关注试题的创新。因此，立体几何的复习要在强化常规题训练和关注试题创新这两个方面下功夫。本题一道已从解决现成问题发展为探究问题的存在性,解决问题的尝试性。

[分析及解]如图建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，

A(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)，

　 (1)

　 ∴

　 ∴ ，∴异面直线PC与BD所成的角为60°

(2)假设在PB上存在E点，使PC⊥平 ADE，记

　 ∴ 若PC⊥平面ADE，则有PC⊥AE，

即，∴　　

∴存在E点且E为PB的中点时，PC⊥平面ADE.

评注：立体几何的试题考查的核心和热点仍然是考查空间图形的线面关系及几何量的计算，即围绕平行，垂直，距离和角的问题进行命题设计，其中平行和垂直是线面的位置关系，距离和角是线面的数量关系，在试题设计时，仍然是以正方体，长方体，棱柱，棱锥为载体，在解法上，则注意解法的多样化，对于一道立体几何试题，往往既能用传统方法求解又能用向量方法求解，有的题目可以用两种方法结合求解。有些立体几何试题,已经不是单一的几何背景,还涉及到解析几何,方程,不等式,最值,概率等其它数学分支,从而考查综合运用数学知识和技能的灵活性.

跟踪训练3．(本小题共12分)在三棱锥中，，

.

　 (Ⅰ)证明：⊥；

　 (Ⅱ)求二面角A-BC-S的大小；

　 (Ⅲ)求直线AB与平面SBC所成角的正弦值.

[例1]已知函数

　 (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最小值；

　 (Ⅱ)在给出的直角坐标系中，

画出函数上的图象.

命题意图：三角与三角函数的综合问题主要考点是三角变换、图像、解析式、向量或三角应用题，重点是三角、向量基本知识的综合应用能力。数形结合、函数与方程思想、化归转化的思想是解决三角函数问题时经常使用的基本思想方法。属于基础题或中档题的层面，高考中一定要尽量拿满分。

　 [分析及解](Ⅰ)

　　 　所以，的最小正周期，最小值为

(Ⅱ)列表：

x	0
		2	0	－2	0

故画出函数上的图象为

评注：三角函数的训练应当立足课本，紧扣高考真题，不需要加深加宽．解答三角函数考题的关键是进行必要的三角恒等变形，其解题通法是：发现差异(角度，函数，运算)，寻找联系(套用、变用、活用公式，技巧，方法)，合理转化(由因导果，由果探因)．其解题技巧有：常值代换：特别是用“1”的代换；项的分拆与角的配凑；化弦(切)法；降次与升次；引入辅助角：asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由确定．此类题目的特点是主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性、“五点法”作图，以及求三角函数的最大(最小)值等.

跟踪训练1．(本小题满分12分)设函数,其中向量, ,x∈R.

　 (I)求的值及函数的最大值；

　 (II)求函数的单调递增区间.

7．预测题

(1)(07天津)在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数(　　　 )

A.在区间上是增函数，区间上是增函数

B.在区间上是增函数，区间上是减函数

C.在区间上是减函数，区间上是增函数

D.在区间上是减函数，区间上是减函数

分析：本题为抽象函数，可以从函数的性质入手，研究函数的单调性和周期以及图象。也可以具体化，把一般转为特殊，取符合条件的特殊的例子解答。

解法一：因为函数在上是偶函数，在区间是减函数，可知函数在区间上是增函数，并且，由此知为以2为周期的周期函数，所以在区间上的单调性与在区间是一致的，是减函数。故选B

解法二：由知函数图象关于对称，又因为函数在上是偶函数，图象又关于对称，于是可以作如图所示的示意图。

从图中判断，选择B。

答案：B

评注：解法一利用性质解答，解法二把一般转化为特殊，

结合图形一目了然，不适为好的方法。

(2)(原创)过抛物线的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P和Q，那么线段PQ中点的轨迹方程是(　 )

(A) 　(B) 　(C)　 (D)

分析：本题中的直线任意，可以先取特殊情况，当线段PQ为抛物线的通径时，其中点就是焦点，即焦点应在所求的轨迹上适合方程。

解：(特殊点筛选法)抛物线的焦点为，直线过抛物线的焦点，当时，线段PQ中点为由已知可知轨迹曲线的顶点为 ，开口向上，由此排除答案A、C、D，所以选B；

另解：(直接法)抛物线的焦点为，设过焦点的直线，则，消y得：，中点坐标有，消得，选B.

评注：通过比较即可看出取特殊位置时解法比较简单。

(3)设，则大小关系是______________；

分析：已知条件中的任意，可以取特殊值进行比较。

解：考虑到三个数的大小关系是确定的，不妨令：，

评注：利用取特殊值法时，所取的值要满足条件、简单而且便于计算，有区分度才有利于解答问题。

(4)．设是公比为的等比数列，是它的前项和，若是等差数列，则=______________；

分析：由于等比数列的前项和公式使用时需要分两种情况，当时和当时，所以首先想到

解：因为非零的常数列是公比为1的等比数列，且前n项和数列{nc}是公差为的等差数列，可知q=1。

评注：注意有些问题的出发点往往很简单，但如果直接计算则相当的麻烦，可以从特殊值或特殊数列入手解答问题。

(5)由下列各式：

你能得出怎样的结论，并进行证明。

分析：对所给各式进行比较观察，注意各不等式左边的最后一项的分母特点：，，，，…，一般地， 第个式子的最后一项的分母为，对应各式右端为。

解：归纳得一般结论

证明：当n=1时，结论显然成立.

当n≥2时，

故结论得证。　　　　　　　　　

评注：本题由特殊归纳出一般性的结论，在归纳时要总结每个式子的特点，随着序号发生怎样地变化，得出结论后，又用放缩法给出证明，也可以用数学归纳法给出证明。

(6)．设二次函数满足条件：

①当时，，且；

②当时，

③在上的最小值为0。

求最大值，使得存在，只要，就有

分析：本题先根据题设求出函数解析式，然后假设存在，取得的范围，再令求出的取值范围，进而根据的范围求出的最大值。

解法一：∵，∴函数的图象关于对称

　　 ∴ 即

由③知当时,，即；

由①得 ，由②得 。

∴，即，

又，∴，

∴，

假设存在，只要，就有，

取时，有，

对固定的，取，有：

，

　∴≤=9，

当时，对任意的，

恒有，

∴的最大值为9。

解法二：∵，∴函数的图象关于对称

　　 ∴ 即

由③知当时,，即；

由①得 ，由②得 。

∴，即，

又，∴，

∴，

　 由 在上恒成立

　 ∴当时，恒成立；

　 令 有

令有当时，恒有解；

令得，，

即当时，任取恒有，

∴

评注：本题属于存在性探索问题，处理这道题的方法就是通过的特殊值得出的大致范围，然后根据的范围，再对取特殊值，从而解决问题。

6．由一般到特殊和由特殊到一般

例10．(2008湖北卷，理15)观察下列等式：

……………………………………

可以推测，当≥2()时，　　　　　

　　　　　 .，0

分析：本题为找规律题，可以纵观全局，就会发现这些式子的特点，纵向观察，找出规律和共性，得到答案。

解：纵向观察每个式子的第一项，可知再看每个式子的第二项，都是，所以，同理，，0

答案：，0

评注：本题是由特殊到一般，需要观察归纳总结规律。

例11．(2008辽宁卷，理21)在数列，中，a₁=2，b₁=4，且成等差数列，成等比数列()

(Ⅰ)求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；

(Ⅱ)证明：．

分析：由已知条件可先算出前几项，再归纳总结，用数学归纳法证明。

解：(Ⅰ)由条件得

由此可得

．猜测．

用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立．

②假设当n=k时，结论成立，即

，

那么当n=k+1时，

．

所以当n=k+1时，结论也成立．

由①②，可知对一切正整数都成立．

(Ⅱ)．

n≥2时，由(Ⅰ)知．

故

综上，原不等式成立．

评注：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．注意不等式的变换技巧。

例12．已知函数的图象如图所示，则满足的关系是(　　 )

A．　　　　　　 B．

C．　　　　　 D．

由图可知函数为增函数，所以取得，∴故选A

答案：A

评注：本题采用数形结合，利用取特殊点的办法解决问题，比较简捷。

5．取特殊的点

例9．(2009山东文登三中)已知函数，则的图象是(　 )

A　　　　　　 　　　B　　　　　 　　　　C　　　　　 　　　　D

分析：可以根据已知函数写出所研究的函数，没有必要画出函数图象，只需取特殊点就可以判断。

解：由已知得取特殊值和时，图象所过的点为，结合图形知选D。

答案：D

评注：因为选项中的各图都有区别，可以取特殊值加以辨别。

4.取特殊位置

例7.(2008宁夏区银川一中)如图，边长为的正中线与中位线相交于，已知是绕旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题

有　　　　　　　　　　 (填上所有正确命题的序号)　　　　　　　

(1)动点在平面上的射影在线段上；

(2)三棱锥的体积有最大值；

(3)恒有平面平面；

(4)异面直线与不可能互相垂直；

分析:由于是绕旋转过程中的一个图形,可以转动到特殊位置,需要考虑特殊情况.

解: 不论怎样转动,,(1)(3)正确,(2)不再变化,当高最大时,三棱锥的体积有最大值,即当时, 三棱锥的体积有最大值也正确,(4)不正确,由三垂线定理知,当在平面内的射影与平行时就一定垂直.

评注:特殊位置法是解决变化的图形的一种策略,要想到一些特殊位置.

例8.(福建省八闽高中)某校高三年级老师到外校参观学习2天，留下6位老师值班，记每天上午、下午、晚上各为一“工作时”，则每位老师必须且只需值班一个“工作时”，由于有事，甲老师不能值晚班，乙老师不能值下午班，那么年级值班排法共有…………………………………(　　 )

A．288种　　　　 B．312种　　　　　 　C．336种 　　　　　D．360种

分析：甲老师、乙老师都有特殊要求，应该先满足他们的特殊要求先排，如果先排甲老师，则由于他排在上午和下午会影响到乙老师的排法，所以需要分类讨论。

解：先排甲老师有两种情况，(1)甲老师排在上午值班，有2种方法，乙老师排在晚上值班也有2种方法，其余4位老师有种方法，共2×2×24=96种方法。(2)甲老师排在下午值班，有2种方法，乙老师与其他4位老师随便排都可以，有种方法，共有240种方法；由(1)(2)可知共336种方法。

评注：本题为排列组合的特殊元素和特殊位置题，按特殊元素和特殊位置优先的原则，分情况讨论。

3．取特殊数列

例6.(2008四川卷，理7)已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是(　 　)

　(A)　　　　　　　　 (B)　

　(C)　　　　　　　　　 (D)

分析：本题中的等比数列只知道，如果再知道公比，数列就可以确定，而选项是范围问题，可取定公比加以排除。

解法一：∵等比数列中 ∴当公比为1时，， ；

　　　　 当公比为时，， 从而淘汰(A)(B)(C)

故选D；

解法二：∵等比数列中 ∴

　 ∴当公比时，；

　 当公比时，　

∴　 故选D；

评注：取特殊数列入手淘汰，如果一次不能区分，则需多次取有区分度的值进行排除，直至能辨别出正确答案为止，也可多种方法并存。要重视等比数列的通项公式，前项和公式，以及均值不等式的应用，特别注重均值不等式使用的条件是否具备，不具备就要进行分类讨论。

2．取特殊函数

例4．(2008陕西卷，理11.改编)定义在上的函数满足()，，则等于(　　 )

A．2　　　　　　 B．3　　　　　　　 C．6　　　　　　 D．9

分析：由及，可令为特殊值，求出，

再取特值研究函数的奇偶性；或直接取满足条件的特殊函数解答。

解法一：取，则满足和，∴，选D

解法二：中，令，得，再令得，再令，得，令得，，再令，得，选D

评注:对于抽象函数来说,取特殊值和取特殊函数是常用的方法.

例5.(取特殊函数的三角题)

1.取特殊数值

例1．(2008重庆卷,理6)若定义在上的函数满足：对任意有,则下列说法一定正确的是(　　　　　 )

(A) 为奇函数(B)为偶函数(C) 为奇函数(D)为偶函数

分析：判断函数的奇偶性需要用定义，即找与之间的关系，由于所以需要先求出的值，这时需要取特殊值解答。

解：令，得，令得∴，∴为奇函数，故选　　　　

答案：

评注：在对于抽象函数来说，常常通过取特殊值研究函数的奇偶性。

例2.若，则下列代数式中值最大的是

A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

分析：本题比较大小，可以取特殊值，也可以作差比较，还可以用基本不等式或排序不等式。

解法一：特殊值法.取，通过计算比较最大。选A

解法二：

解法三：根据排序不等式知 　、 　、中，最大，再取特值比较与

答案： A.

评注：本题中有多种做法，其中取特殊值法最简单，最直接。

例3(2008福建德化一中，理)已知对一切实数都有，且当＞时，＜

(1)证明为奇函数且是上的减函数；　　　　　　　　　

(2)若关于的不等式对一切恒成立，求m的取值范围；

(3)如果，，记数列的前n项和分别为，求证

分析：本题中的函数为抽象函数，可通过取特殊值研究函数的单调性，再利用函数的单调性把不等式转化，得到关于的不等式恒成立，有函数求的最值解答，

(1)证明:依题意取

∴　 又取可得

∴ 由x的任意性可知为奇函数

又设

∴

∵ ∴　 ∴在R上减函数

(2)解：∵函数是奇函数，∴由

得

∴即

又∵是上的减函数　 ∴恒成立

当时，，故此时的最小值为，

∴

(3)∵　 ∴

又，∴数列是以1为首项，以1为公差的等差数列，

∴，　　 要证明不等式，即是证明

也就是证明由柯西不等式得

要使不等式取得等号，当且仅当，而这是不可能成立的。

∴当时，，即

评注：研究抽象函数的单调性常用取特殊值法，本题较为综合的考查了抽象函数的单调性以及利用函数的单调性解得不等式及函数的最值，还有把函数问题转化为数列，最终利用柯西不等式证出。