2、把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路.

1、有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题.

7.预测题

(1)(2008宁夏银川一中,改编)已知函数(其中)，

若的图像如右图所示，则函数的图像是(　　 )

分析:由已知二次函数解析式及二次函数的图象可以判断的取值范围,从而判断的图象.

解: 由函数(其中)的图象可知,.把的图象向下平移个单位,故选A.

答案:A

评注:学会识图,读图,画图,并进行图象的平移变换.

(2)(2008山东省聊城市,改编)函数的定义域为(a,b)，其导函数

　 内的图象如图所示，则函

　 数在区间(a,b)内极值点的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．1　　 B．2 　　　 C．3　　 D.　 4

分析:要判断函数的极值点,要先找导函数的零点,再看此点

两侧的导函数的符号,如果异号就是原函数的极值点.

解:由导函数图知, 只在处的导数值为0,且两侧的符号相异.

函数在区间(a,b)内极值点的个数为2个

评注:判断函数的极值点不能只找导函数的零点,还要看此零点两侧的导函数的符号,如果异号就是原函数的极值点.本题图中处虽然也为零,但因其两侧的符号相同,而不是函数在区间(a,b)内极值点.

(3)(原创)设实数x, y满足　　　　　　 　

分析: 作出不等式表示的可行域,再画出可行域内的点与点连线,数形结合解答.

解: 作出不等式表示的可行域如图所示，

表示可行域内的点与点连线的斜率，

则的取值范围是

答案:

评注:作出不等式表示的可行域后, 在画出可行域内的点与

点连线时,要画准确,其中有一条直线的斜率不存在,

注意斜率的取值范围应该为两直线对应的斜率之外.

(4)(08山东卷，理12改编)设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数的图象过区域的的取值范围是(　　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　　 D．

分析：先画出不等式表示的平面区域，再画出对数函数的图象，借助图形解答。

解： 区域是一个三角形区域，三个顶

点的坐标是，结合图

形检验可知当时，符合题目要求。

评注：解决不等式表示的平面区域和

函数问题都要用数形结合，做到一目了然。

(5)(2008海南卷，理11,改编)已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到轴的距离之和取得最小值时，点P的坐标为(　　 )

A．　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　 D．

分析: 点P到点的距离与点P到轴的距离之和取得最小值时, 点P到点的距离与点P到抛物线的准线的距离之和也取得最小值,这样就可以把点P到抛物线的准线的距离转为到焦点的距离求出.

解: 点在抛物线的外部,要使点P到点的距离与点P到轴的距离之和取得最小值,根据抛物线的定义知,须使点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小,即三点共线时最小. 由斜率

公式得,所以的方程为,

解方程组得,点,故选A.

答案:A

评注:抛物线的定义是到焦点的距离等于到准线的距离,

做题时常常用定义进行转化.

(6)、已知函数当时，总有.

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；

(Ⅱ)设函数，求证：当时， 的充要条件是.

分析：三次函数的导函数为二次函数，那么为二次不等式，当时，总有.就要结合二次函数的图象进行转化；当时，成立也是二次不等式恒成立问题也要结合着二次函数的图象完成。

解：(Ⅰ)由条件，得，

　　 当时，总有，所以有

由①+②得，，

又b≥－2，∴b=－2，把b=－2代入①和②得

因此.

　 (Ⅱ)，

是关于x的二次函数，

当时，或

　 或

解得，. 因此，当时，的充要条件是

评注：二次函数，二次方程，二次不等式问题常常要结合着二次函数的图象来完成，对于二次不等式来说一般要从二次抛物线的开口方向，对称轴，判别式和端点对应的函数值四方面来解答。

6．解析几何问题常常数形结合

例10.(2008海南卷，理11)已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为(　　 )

A．　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

分析: 点P到点的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时, 点P到点的距离与点P到抛物线的准线的距离之和也取得最小值,这样就可以把点P到抛物线的焦点的距离转为到准线的距离求出.

解: 点在抛物线的内部,要使点P到点的

距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值,根据抛物线的

定义知,须使点P到点的距离与点P到抛物线准线

距离之和取得最小,即时最小.则故选A.

答案:A

评注:抛物线的定义是到焦点的距离等于到准线的距离,做题时常常用定义进行转化.

例11．(福建德化一中2008，理)已知函数f(x)= , 若0<x₁<x₂<1, 则 (　　　 )

A． > 　 　B． = 　　 C． < 　 D． 前三个判断都不正确

分析：从解析式上看函数与圆的方程有联系，可以转化为圆，画出图形，由数形结合得出结论。

解：由函数得知的图象为圆的上半圆，如图，当0<x₁<x₂<1时，和分别

为的斜率，由图可知，∴ > ，故选A

评注：对于函数的图象要熟悉，利用数形结合解答函数的选择题

比较形象直观，容易找到关系。

例12.(2008重庆卷,理21)如图(21)图，M(-2，0)和N(2，0)是平面上的两点，动点P满足：

(Ⅰ)求点P的轨迹方程；

(Ⅱ)若,求点P的坐标.

分析：根据已知条件和椭圆的定义易得点P的轨迹方程，

由(2)中的等式可变形转为向量的模和数量积，结合总条件，

在三角形中研究边与角之间的关系。

解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.

　因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴，b=，

　　 所以椭圆的方程为

　(Ⅱ)由得

　　　　　　 　　　　　①

　 因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，

　　 ②

将①代入②，得 故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上.　 由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足，所以由方程组　　　 解得 　　　即P点坐标为

评注：解析几何问题要画出图形，采用数形结合的方法解答。

5.利用函数借助图形求面积

例9.(2008山东省聊城市 　 )．曲线和

曲线围成一个叶形图(如图所示阴影部分)，

其面积是 (　　　　 )

　　　 A．1　　 B．　　　 C．　　 D．

　分析: 两条曲线围成的面积用微积分求出,并且是上面的函数减去下面的函数的积分.

解:两条曲线的交点为,阴影部分的面积为

评注:对于曲线所围成的不规则的几何图形的面积,要用微积分解答,注意积分的上限和下限,有时要看图形是否需要切分成多块部分求出.　 　

4．利用不等式表示的平面区域解答问题

例7．(2008年安徽卷，理15)若为不等式组表示的平面区域，

则当从－2连续变化到1时，动直线 扫过中的那部分区域的面积为　　　　　　　

分析：作出不等式表示的平面区域，然后再作平行线和

则夹在两平行线之间的部分即为所求。

解：如图知是斜边为3 的等腰直角三角形，是直

角边为1等腰直角三角形，区域的面积

评注：涉及到不等式表示的平面区域问题时常常要画出图形数形结合解答问题。

例8．(2008年浙江,理17)若，且当时，恒有，则以,b为坐标点P(，b)所形成的平面区域的面积等于__________。

分析：本小题主要考查线性规划的相关知识，可考虑特殊情形，

比如x＝0，可得a＝1；y＝0可得b＝1.所以猜测a介于0和1之间，

b介于0和1之间。

解：不等式组表示的平面区域为，如图，

由恒成立知，当时，恒成立，当成立；当时，恒成立，∴；同理，∴以,b为坐标点P(，b)所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1。

答案：1

评注：线性规划的相关知识要画出图形，借助图形解答。另外对于恒成立问题，对个例一定成立，还要转为函数的最值。

3.利用导函数图象解答问题

例5．(2008金华一中模拟)函数的图象过原点，且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则的图象的顶点在(　 )

A.第一象限　　 B.第二象限　　 C.第三象限　　 D.第四象限

分析：由导函数的图象及求导公式，提炼出信息得到原函数的有关信息解答。

解：它的导函数的图象是如图所示的一条直线，可知原函数为二次函数，设解析式为，由于函数的图象过原点，所以，为减函数，∴，由的图象可知当时，函数的图象过原点，所以顶点在第一象限

评注：要熟悉导函数与原函数之间的关系，对一次、二次函数关系及其图象的特点要很熟悉。

例6.(2009莱阳)设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是

解析:根据函数的单调性与导函数值的正负之间的关系,进行逐一判断. A,B,C

都有可能成立,排除A,B,C,选D

答案:D

评注:正确图象判断的原则为: 函数的单调增,则导函数值为正, 函数的单调减,则导函数值为负.

2.利用函数的图象解答问题

例2．(07浙江)设，是二次函数，若的值域是，则的值域是(　　 )

A.　 B.　 C.　　 D.

分析：本题为复合函数，相当于中的的值，结合函数的图象，可以求得的值域。

解：作出函数的图象如图所示，由图知

当时，函数的值域

为，而为复合函数，相当

于中的的值，所以的值域是，故选B。

答案：B

评注：本题中的复合函数要转化为原函数和的信息，结合函数的图象更为直观地找到它们之间的关系。而不必探究二次函数的解析式。

例3．(2008广东深圳中学)若的图象必不经过　　 (　　 )

　　　 A．第一象限　　　　　　 B．第二象限　　　　　　 C．第三象限　　　　　 D．第四象限

解析:由知函数图象单调递增,由知把指数函数图象向下平移到原点的下方.故不过第二象限,选B.

答案:B

评注:对于指数函数的图象必须熟悉,并能够进行图象的平移变换.

例4．(宁夏区银川一中2008)函数的零点的个数是　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．3个　　　　　　　　　　 B．2个　　　　　　　　　　 C．1个　　　　　　　　　 D．0个

分析：函数的零点的个数就是方程的

解的个数，要通过数形结合，画出函数的图象的交点的个数。

解： 的零点，即使，作函数

的图象和函数的图象如图所示，有两个交点，所以函数有两个

零点，故选

答案：

评注：对于象本题这样的超越函数的解的个数问题常常用数形结合的思想解答

1．集合问题中的数形结合

例1.(2008北京卷,理1)已知全集，集合，，那么集合等于(　　 )

A．　 B．C．　　 D．

分析:不等式表示的集合通过数轴解答.

解:在数轴上先画出,再画出集合,取其公共部分如图所示阴影部分就是集合,故选D

答案:D

评注:对于不等式表示的集合,可在数轴上表示并进行集合的交、并、补的运算

7．预测题

(1)．(2008宁夏区银川一中，改编)矩形的

任意一点落在由函数

所围成的一个封闭图形内的点所占的概率是　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　 B．

　　 C．　　 　　　 D．

分析：阴影部分的图形不规则，其面积只能用定积分求出，概率为面积之比。

解：由题意可知阴影部分的面积为，矩形的面积为，矩形的任意一点落在由函数的图象所围成的一个封闭图形内的点所占的概率是，故选　

评注：对于不规则图形的面积要用定积分求出，再由几何量之比求出概率。

(2)．(原创)在区间上任取两个数，则方程没有实根的概率为　　　　 .

分析：求出方程有实根的条件，可发现这是一个求几何概型的概率问题，求出相关平面区域的面积，即可求概率.

解：若使方程有实根，须满足，

即它表示的平面区域如图阴影部分(包括边界)所示，

其面积为，又事件空间对应的平面区域是一个边长为1的正方形，其面积为1，故所求概率为.

评注：本小题把二次方程、线性规划、定积分、概率综合为一体，综合考查了数形结合的思想、转化与化归的思想和必然与或然的数学思想。

(3)．某网站有台相同的网络服务器，每个网络服务器都有个外网端口，据以往的安全监控分析得知，这个网络端口各自受黑客入侵的概率为，只要有两个网络端口被入侵就会导致该服务器瘫痪，从而导致该服务器中断工作． 网站的各台服务器互相独立工作，网站至少有两台服务器能工作，该网站就能正常运营．

①求每个服务器中断工作的概率；

②求该网站能够正常运营的概率；

③设网站能正常工作的服务器的台数为随机变量，求

分析：每个服务器中断工作的概率比较好求，正面求出或反面求出，网站至少有两台服务器能工作，该网站就能正常运营，情况就比较复杂，而反面只有两种情况，就是网站不能运营，是指的这个网站至多只有一台服务器能正常工作。网站能正常工作的服务器的台数为随机变量服从二项分布，可按公式计算。

解：①先求服务器能正常工作的概率．每台服务器能正常工作是指这台服务器至少有两个端口没有受到黑客入侵，故这个概率是．

即每个服务器中断工作的概率为．

②先求该网站不能运营的概率．该网站不能运营是指的这个网站至多只有一台服务器能正常工作，故这个概率是，故这个网站能正常运营的概率是．

③，故．

评注：本题中构造了重复独立试验事件的概率，对于 “至多”、“至少”问题可以正、反两方面考虑，需要看怎么解答简单。

(4)(原创)(文科)甲、乙两人玩数字游戏，各从1到9这九个数字中随机抽取一个数字，甲抽取的数字为十位数字，乙抽取的数字为个位数字，构成一个十位数

①事件“两位上的数字相同的十位数”的概率

②事件“两位上的数字之和小于9的十位数”的概率

③事件“两位上的数字之和等于或大于11十位数”的概率.

分析：甲抽取的数字为十位数字，乙抽取的数字为个位数字，构成一个十位数，抽取的过程是随机的等可能的，可以一一列出所以的基本事件，从中找出满足要求的基本事件。

解: 甲、乙两人都是从1到9这九个数字中随机抽取数字，构成十位数，所以是等可能事件，甲、乙两人抽取的数字都有9种情况,构成的十位数分别为11，12，13，14，…19，21，22，23，24，…29，31，32，33，34，…39；……91，92，93，94，…99,所以基本事件总数为9×9=81个

①记“两位上的数字相同的十位数”为事件,则事件有9个基本事件,即11，22，33，44，55，66，77，88，99　　　　 ∴

②记“两位上的数字之和小于9的十位数”为事件,则事件所包含的基本事件有 11，12，13，14，15，16，17；21，22，23，24，25，26；31，32，33，34，35；41，42，43，44；51，52，53；61，62；71共有7+6+5+4+3+2+1=28个基本事件,∴

③记“两位上的数字之和等于或大于15的十位数”为事件,则事件所包含的基本事件有69；78，79；87，88，89；96，97，98，99有1+2+3+4=10个基本事件　　 ∴

评注：对于文科的概率考题来说，基本上都是古典概型，并且是按列举出所有基本事件，从中找出符合要求的基本事件的概率。

(5)(2008届莆田四中)甲，乙两人参加某电视台举办的答题游戏，两人分别各自从8道备选题中任抽取4道做答。已知8道题中甲答对每道题的概率都是，乙能答对其中的4道题。

(1)求甲，乙两人都答对其中3道的概率；

(2)设甲答对题目的个数为，求的分布列与数学期望。

分析：自从8道备选题中任抽取4道做答，答对其中3道，这就意味着有一道答不对，甲答对题目的个数为服从超几何分布，从而列出分布列。甲，乙两人都答对其中3道，为相互独立事件同时发生。

解：(1)设甲、乙两人答对其中3道的事件分别为，

则,　　

所以甲、乙都答对其中3道的概率

(2)　　　 甲答对题目的个数的取值为0，1，2，3，4

　，　 ，　 　，

，　

的分布列为

	0	1	2	3	4
P

所以

评注：本题为超几何分布列，解决概率问题一定要注意题目的类型，理解好题意解答问题。

(6).(原创)(理科)集市上有一种“弹珠子”的小游戏：游戏者交两元钱给摊主，就可以弹珠子一局(一局为独立弹珠子三次)，珠子弹出后在盘中经过一系列碰撞后等可能地随机滚入编号为1、2、3的三个盒子中．珠子如果滚入1号盒子中游戏者均积1分，如果滚入2号盒子中，游戏者积2分．如果滚入3号盒子中游戏者均积分，游戏者可以根据不同积分领取奖品．现甲、乙两人进行比赛游戏,用表示甲游戏者玩一局的总积分.

(Ⅰ)求的分布列和数学期望．(Ⅱ)用表示“甲、乙两人总得分之和等于2”这一事件，用表示“甲总得分大于乙总得分”这一事件，求．

分析：本题中的随机变量的取值需要按实际情况分别探讨，分类完成，列出分布列。

解：由题意知，x 的取值为－9，－5，－4，－1，0，1，3，4，5，6．

∵ 珠子是等可能地随机滚入三个盒子中，∴ 珠子滚入每个盒子的概率都是．

∴ P(x =－9)==，P(x =－5)= =，

P(x =－4)= =，P(x =－1)= =，

P(x = 0)=，P(x = 1)=，

P(x = 3)==，　　 P(x = 4)=，

P(x = 5)=，　 P(x = 6)= =．

∴ x 的分布列是：

x	－9	－5	－4	－1	0	1	3	4	5	6
P

x 的数学期望

Ex =

(Ⅱ)用表示“甲得6分,乙得－4分”这一事件，用表示“甲得3分,乙得－1分”这一事件，

所以，且互斥，

又

=

由互斥事件的概率公式得

评注：本题中的随机变量x 的取值比较麻烦，需要分别计算所有各种情况的分值，并算出所占的概率，所有事件的概率之和为1，可以以此检验计算是否正确。而则需要理解透题意，并把相互独立事件同时发生转化为互斥事件的概率求出。