7．函数、方程、不等式之间的转化

例11．(2009山东省济宁市)若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是

A．　 　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C． 　　　　　　 D．

分析:本题为三次函数有三个不同的零点，则函数应该有两个极值点，一个极值为正，一个极值为负，所以要先求出其导数，再求其极值。

解: 由函数有三个不同的零点,则函数有两个极值点,且有,得,所以函数的两个极值为和,结合图象,应该有∴,故选A

答案:A

评注:一般地对于高次函数来说，要转化为导函数研究问题，特别是在研究函数的单调性、最值等性质时要用导数解决。

例12．设函数为实数。

(Ⅰ)已知函数在处取得极值，求的值；

(Ⅱ)已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。

分析：(Ⅱ)中不等式对任意都成立，可以转化为的不等式在都成立，从而变为的一次函数由单调性来解答；也可以将分化出来，转化为的不等式在恒成立，研究右边函数的最值。

解:　 (1)，由于函数在时取得极值，所以

　　 即

　(2) 方法一： 由题设知：对任意都成立

　　 即对任意都成立

　 设 , 则对任意，为单调递增函数

　 所以对任意，恒成立的充分必要条件是

　 即 ，， 于是的取值范围是

　 方法二：由题设知：对任意都成立

　 即对任意都成立

　 于是对任意都成立，即

， 于是的取值范围是

评注：对于不等式恒成立问题，一般来说是要分化出参数，转化为求右边函数的最值问题；但有的也不容易分化，我们也可以转换主变量，把二次函数转化为一次函数，根据一次函数的单调性即可容易完成。

(湖北理)

已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．

(I)用表示，并求的最大值；

(II)求证：()．

本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．

解：(Ⅰ)设与在公共点处的切线相同．

，，由题意，．

即由得：，或(舍去)．

即有．

令，则．于是

当，即时，；

当，即时，．

故在为增函数，在为减函数，

于是在的最大值为．

(Ⅱ)设，

则．

故在为减函数，在为增函数，

于是函数在上的最小值是．

故当时，有，即当时，．

6．极坐标与参数方程转化为普通方程

例10．(2008南通四县)(坐标系与参数方程)已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．

分析：本题既有参数方程又有极坐标方程，用极坐标方程和参数方程研究弦长问题很难解决，可以转化为普通方程求出。

解：曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为，即　 直线l的参数方程，化为普通方程为x－y－1=0，

曲线C的圆心(2，0)到直线l的距离为　　　

所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长=．　　

评注：研究极坐标与参数方程问题可以直接研究，也可以转化为普通方程研究，特别是在研究直线与圆锥曲线的位置关系时常常转化为普通方程求出。

5.三视图转化为立体图

例8．(2009莱阳模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为V，并且可以用n这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V，n的值是(　　　 )

　 A． B．

C．　 D．　

分析：由三视图转化为立体图，再做解答。

解：根据三视图，可知此几何体为一个如图所示的四棱锥，其体积为，故选B

答案：B

　评注：高考题注重对立体几何中的三视图的考查，一般是给出几何体的三视图，让我们还原为立体图，然后求出一些几何量。

例9．(2008山东淄博市模拟)一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图中△是边长为的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为(　　　 )

　　　　　　　 正视图　　　　　　　 侧视图　　　　　　　 俯视图

　　 A． 　　　　　　 B． 　　　　　　 C．　　　　　　 D．

分析：先把三视图还原为立体图，再由立体图进行解答。

解：有三视图可知，此几何体为正六棱锥，如图，其中正视图

为，是正三角形，则，∴底面边长为1，侧棱长为2，

则高为，设分别为的中点，则为侧视图，

，∴侧视图的面积为，故选。

答案：

评注：正确对待三视图，要会还原为立体图，找出相应的量解出，

注意对应的量不能出错。

4．函数与导函数之间的转化

例6．(2008湖北卷，理7)若上是减函数，则的取值范围是 (　　　　　 )

A. 　　　B. 　　　　C. 　　　D.

分析：把已知条件函数在某区间上是单调减函数需要转化为函数的导函数在此区间上是恒负，再分化出，转化为函数研究最值问题解决。

解：∵上是减函数，∴在上恒成立，即在上恒成立，设在上单调递增，∴，∴当时，在上恒成立，即上是减函数。故选C

答案：C

评注：函数的单调性通常转化为导函数的正负判断，而不等式恒成立又常常转化为函数研究最值问题，本题中还要注意做题的严密性，等号不能丢掉。

例7．(2008福建卷，理12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是(　　 )

分析：注意观察导函数的图象以及原函数的图象，并把所得到的信息转化为原函数的信息，加以排除选择。

解：令，则，当时，由图象知，即，是增函数，则答案A，C错，　当时，，即，是减函数，则答案B错，故选D．

答案：D

评注：对于由图形给出的信息要从中提炼出来，并适当地用数学语言表述准确，本题中的两个函数可以转化为一个函数，进行构造，导函数的正负转化为原函数的增减。

3．转化函数关系

例5．(2008山东卷，文15)已知，

则的值等于　　　　　 ．

分析：本题中的函数不是以为整体，而是以为整体给出的解析式，所以要求函数值，需要先求关于的解析式，再代入求值。

解：∵，∴，

则

评注：有些题目中往往所给的解析式不是关于的解析式，这时需要我们把解析式进行转化，本题中先把函数进行转化，然后进行运算。

2．新定义运算转化为普通运算

例3．(2008山东省泰安市)如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若，， 则A#B为(　　　　　 )

A．　　 B．

C．　 　D．

分析：根据图形语言可知定义的A#B转化为原有的运算应该是表示为，所以需要求出和，借助数轴求出并集与交集。

解：，，则，根据新运算，得A#B=故选D

答案：D

评注：本题是集合中的新定义运算题，综合考查了图形语言、集合的描述法表示，函数的定义域和值域，以及集合的交并补的运算。解题的关键是由图形语言把新定义运算转化为原有的普通运算解出。

例4．(2008山东省郓城一中)定义一种运算，令，且，则函数的最大值是(　　　 )

A．　　　 　　　　　 B．1 　　　　　　　　 C．　　　　 　　 D．

分析：根据新定义，知要确定函数的解析式，需要比较与的大小关系，即需要求的取值范围，另外，还要注意自变量的取值范围，再确定的解析式，从而求出函数的最大值。

解：设，

∵，∴，∴，即，

根据新定义的运算可知，

∴()

∴函数的最大值是，故选A

答案：A

评注：解决新定义问题，首先要把定义读懂理解透，把陌生的新内容转化为熟悉的已知的内容，在此基础上进一步研究熟悉的问题。

1. 转化运算．

例1.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为(　　 )

A．1　　　　　　 B．　 　　　 C．　　　　 D．2

分析: 动直线与函数和的图像分别交于两点, 横坐标相同，那么就是纵坐标之差，即求最值。

解: 最大值为

评注:审题要审准，读懂题意，将问题学会转化。

例2．(2008湖北卷，理14)已知函数,等差数列的公差为.若,则　　　 .

分析：题目中的已知条件很容易求得，而所求的为可以转化为等差数列的前10项之和，根据公差，可以把前10项之和转化为用表示出来，从而求得。

解：由和知，

=

评注：仔细分析题目，把运算进行转化，可以大大地节省时间，提高做题的效率。本题中把等差数列的前10项之和转化为用表示出来，比较快捷，减少计算量。

[例6]数列{a_n}，a₁=1，

　 (1)求a₂，a₃的值；

　 (2)是否存在常数，使得数列是等比数列，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

　 (3)设，

证明：当

命题意图：数列的综合问题主要考点是数列、导数、不等式、数学归纳法，重点是综合、灵活运用数学知识分析、解决问题的能力，充分体现考生的综合数学素质。

解：(1)

　 　(2)设，

即

故

∴

又　 使得数列 是等比数列

(3)证明：由(1)得

∴，故

∵

∴

，现证

当n=2时，，

故n=2时不等式成立，当得

∵

评注：数列解答题的命题热点是与不等式交汇,主要是呈现递推关系的综合性试题，其中,以函数与数列、不等式为命题载体,有着高等数学背景的数列解答题是未来高考命题的一个新的亮点,而命题的冷门则是数列的应用性解答题.

跟踪训练6．(本小题满分12分)在直角坐标平面上有一点列 对一切正整数n，点P_n在函数的图象上，且P_n的横坐标构成以为首项，－1为公差的等差数列{x_n}.

　 (1)求点P_n的坐标；

　 (2)设抛物线列C₁，C₂，C₃，…，C_n，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，抛物线C_n的顶点为P_n，且过点D_n(0，).记与抛物线C_n相切于点D_n的直线的斜率为k_n，求

　 (3)设等差数列的任一项，其中是中的最大数，，求数列的通项公式.

[例5]已知抛物线，过定点的直线交抛物线于A、B两点.

　 (Ⅰ)分别过A、B作抛物线的两条切线，A、B为切点，求证：这两条切线的交点在定直线上.

　 (Ⅱ)当时，在抛物线上存在不同的两点P、Q关于直线对称，弦长|PQ|中是否存在最大值？若存在，求其最大值(用表示)，若不存在，请说明理由.

命题意图：圆锥曲线的综合问题主要考点是双曲线、抛物线、椭圆相结合，重点是圆锥曲线

的统一定义，点、弦、面积、取值范围、定值，函数与方程思想、数形结合思想。

[分析及解](Ⅰ)由，得，设

过点A的切线方程为：，即

同理求得过点B的切线方程为：

∵直线PA、PB过，∴,

∴点在直线上，∵直线AB过定点，

∴，即∴两条切线PA、PB的交点在定直线上.

　 (Ⅱ) 设，设直线的方程为：，

则直线的方程为：，

，

，　　　　　　　 ①

设弦PQ的中点，则

∵弦PQ的中点在直线上，∴，

即　　　 ②

②代入①中，得　　　　　　 ③

由已知，当时， 弦长|PQ|中不存在最大值.

当时，这时，此时，弦长|PQ|中存在最大值，

即当时，弦长|PQ|中的最大值为

评注：圆锥曲线的试题涉及到函数、方程、导数、不等式、三角、向量、数列等各章节的知识，常把代数、三角、向量、数列、导数等知识交汇在一起成为典型题。而求曲线方程、弦长、角、面积、最值、轨迹、参数的值或取值范围，证明某种关系、证明定值、探索型、存在性讨论等问题是常考的题型，具有一定的综合性和灵活性，计算也较复杂，需要有较强的综合能力。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。

跟踪训练5．(本小题满分12分)

已知椭圆C:(a＞b＞0)，点F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，点P(2,)在直线x=上，且|F₁F₂|=|PF₂|,直线:y=kx+m为动直线，且直线与椭圆C交于不同的两点A、B。

　 (Ⅰ)求椭圆C的方程；

　 (Ⅱ)若在椭圆C上存在点Q，满足(O为坐标原点)，求实数的取值范围；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，当取何值时，△ABO的面积最大，并求出这个最大值．

[例4]已知

　 (1)若存在单调递减区间，求的取值范围；

　 (2)若时，求证成立；

　 (3)利用(2)的结论证明：若

命题意图：函数与导数的综合问题主要考点是函数、导数、单调性、极值、切线、不等式，重点是三次或含自然对数的函数的导数、单调性、极值、切线、不等式(主要是恒成立、能成立或利用导数证明不等式问题)。属高档题的范畴，考查交汇知识综合处理能力。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想

[分析及解](1)

　 ，有单调减区间，∴ 有解

　　 ， ∴有解

　　 ①时合题意

②时，，即， ∴的范围是

　 (2)设， ，

		0
	+	0	-
		最大值

　　 ∴有最大值0，∴恒成立

即成立

(3)

，∴求证成立

评注：导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。通过构造函数，以导数为工具，证明不等式，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。

跟踪训练4．(本小题满分12分)已知函数

　 (I)当的单调区间和极值；

　 (II)若函数在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围.