(二)考点预测题

1．(2007天津 理工13)设等差数列的公差是2，前项的和为，则　　　 ．

[解析]本题设出首项，表示出通项和前和(有限项)，然后代入求极限.而在求极限的时候，利用到已经掌握的极限知识和，其中为常数.

[答案]设首项为，则，

，

.

2.(2008山东卷 文20)将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

．．．．．．

记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足．

(Ⅰ)证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；

(Ⅱ)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第行所有项的和．

[解析]第(Ⅰ)问从无穷数列中抽出它的一个无穷的子数列，由与的递推关系式消去，从而证明是无穷的等差数列. 第(Ⅱ)问就是求从第三行起的每一行所有的这些无穷多项的和.

[答案](Ⅰ)证明：由已知，当时，，

又，所以，

即，所以，

又．所以数列是首项为1，公差为的等差数列．

由上可知，即．

所以当时，．

因此

(Ⅱ)解：设上表中从第三行起，每行的公比都为，且．

因为，所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项，

故在表中第13行第三列，因此．

又，所以．

记表中第行所有项的和为，

则

(一)考点预测

根据近几年各地高考试题和模拟试题来看，有限与无限的思想逐年增加考查广度，我们认为2009年的高考一定会有更多的体现.在题型上来看，热点问题仍然是以数列为载体考查极限的知识和用数学归纳法证题.

2．(安徽省皖南八校2008届高三第三次联考，数学，18)数列的首项=1，前项和为满足(常数，)．

　　 (1)求证：数列是等比数列.

　　 (2)设数列的公比为，作数列，使，(2，3，4，…)

求数列的通项公式；

　　 (3)设，若存在，且；使(…)，试求的最小值．

[解析]第(1)问通过对递推关系式的变形得到相邻两项的比，正是利用这两个有限项的比是非零常数来证明该数列是等比数列的.第(2)问也是通过对递推关系式(无限的问题)的变形来求通项公式的(无限的问题).第(3)问通过抓住通项来求有限项的极限，再根据这个极限求出的最小值.

[答案] 解：(1) ①

　　 当时， ②

①-②得，即

　　 由①, 　，∴，

　　 又符合上式，∴是以1为首项，为公比的等比数列．

(2)由(1)知，∴()，

∴.又，即，，

∴数列是为1首项，为公比的等比数列．

∴，∴．

(3)由(2)知，则.

∴…=

=，

∴，∴. 　 ∵，∴，.

又∵，∴的最小值为7.

1.(福建省泉州一中2008届高三毕业班第二次模拟检测，数学，22)数列中，，

　(为常数，) ，且

(1)求的值；

(2)① 证明：；

② 猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值(不必证明)；

(3)比较与的大小，并加以证明.

[解析]第(1)问由通项公式(揭示无限问题)求出有限项后可得的值；第(2)问通过对有限项的处理证明出结论，从而可猜出的极限；第(3)问对得到的递推关系式进行变形，再用作差法求解，需要用到数学归纳法证得.然后通过前几项(有限项)的比较与第(2)问已证的单调性得到结果.

[答案](Ⅰ)依题意，

由，得，解得，或(舍去).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅱ)① 证明：因为，

当且仅当时，.因为，所以，即　 ().

　　 　② 数列有极限,且 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

(Ⅲ)由，可得，从而.

因为，所以

所以

因为，由(Ⅱ)① 得 　().　 (*)

下面用数学归纳法证明：对于任意，有成立.

当时，由，显然结论成立.

假设结论对时成立，即

因为，且函数在时单调递增，

所以.即当时，结论也成立. 于是，当时，有成立. (**)

根据(*)及(**)得 .　　　

由 及， 经计算可得

所以，当时， ；当时，；

当时，由，得

所以.　　　

3.(2008辽宁卷21)在数列，中，a₁=2，b₁=4，且成等差数列，成等比数列().

(Ⅰ)求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；

(Ⅱ)证明：．

[解析]第(Ⅰ)问由题设可得两个数列的递推关系式，进而得到两个数列的前几项(有限项) ，可以猜出两者的通项公式(无限的问题)，再用数学归纳法证明这个无限的问题.第(Ⅱ)问可以通过研究通项公式(无限的问题)直接解决无限的问题.

[答案](Ⅰ)由条件得，由此可得

．猜测．

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立．

②假设当n=k时，结论成立，即，

那么当n=k+1时，,

所以当n=k+1时，结论也成立．

由①②，可知对一切正整数都成立．

(Ⅱ)．n≥2时，由(Ⅰ)知．

故

.

综上，原不等式成立．

2. (2005年福建卷，理，22) 已知数列满足,我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当时，得到无穷数列：当时,得到有穷数列：.

(Ⅰ)求当为何值时；

(Ⅱ)设数列满足, ，求证：取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列；

(Ⅲ)若，求的取值范围.

[解析]　 这是一道蕴含有限与无限的思想的典型试题. 对于题设的递推关系，随着所给出的初始条件不同，得到的数列既可能是无限数列也可能是有限的数列，第(Ⅱ)问则可以通过有有限次的试验，得出对无限个都可以得到一个有穷数列{a_n}的猜想，再用数学归纳法进行证明.或者通过对有限问题的推理直接得到无限问题的解答.第(Ⅲ)问是把对无限个都成立的结果，通过有限次分析获得解决.

[答案](Ⅰ)

(Ⅱ) 解法一：,,

当时, ,

当时,,,

当时,,.

一般地, 当时,可得一个含有项的有穷数列.

下面用数学归纳法证明.

(1)　 当时, ,显然,可得一个含有2项的有穷数列

(2)　 假设当时,,得到一个含有项的有穷数列,其中

,则时,,,

　　 由假设可知, 得到一个含有项的有穷数列,其中.

所以,当时, 可以得到一个含有项的有穷数列,,其中

由(1),(2)知,对一切,命题都成立.

解法二：

故取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列.

(Ⅲ)即,

所以要使,当且仅当它的前一项满足.

由于,所以只须当时,都有

由,得, 解得.

1. (2008安徽卷，理，14)在数列在中，，，,其中为常数，则的值是　　　　 .

[解析]本题根据通项与前n项和可以求出常数的值，再对所给的有限项求极限.这里我们要利用已经掌握的无限的结论(即)来解决新的极限问题.

[答案]由知，是公差为4的等差数列，故

，解得，，从而.

5、有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查,所以我们考前应该予以重视.

4、立体几何中求球的表面积与体积的推导，实际上是先进行有限次分割，然后再求和、求

极限；数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等，这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法.

3、积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题.