摘要：已知圆M:x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0与圆N:x2+y2+2x+2y-2=0交于A.B两点.且这两点平分圆N的圆周.求圆M的圆心的轨迹方程.并求其中半径最小时圆M的方程. 解 由圆M的方程知M(m.n).又由方程组 得直线AB的方程为2y-m2-1=0. 又AB平分圆N的圆周. 所以圆N的圆心N在直线AB上. ∴2-m2-1=0. ∴m2+2m+2n+5=0.即(m+1)2=-2(n+2). (*) ∴(x+1)2=-2(y+2)即为点M的轨迹方程. 又由题意可知当圆M的半径最小时.点M到AB的距离最小.即MN最小. d= 由(*)可知n≤-2,∴d≥1. 即最小值为1,此时m=-1.n=-2. 故此时圆M的方程为(x+1)2+(y+2)2=5.

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