1、上一章已经复习过解析几何的基本问题之一：如何求曲线(点的轨迹)方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。

在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。

3、求轨迹方程的常规方法。

2、直线和圆锥曲线位置关系。

1、三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质等。

(三)　 解答题

13、设=(3，1)，=(-1，2)，⊥，∥，试求满足+=的的坐标，其中O为坐标原点。

14、若+=(2，-8)，-=(-8，16)，求、及与夹角θ的余弦值。

15、已知||=，||=3，和夹角为45⁰，求当向量+λ与λ+夹角为锐角时，λ的取值范围。

(二)　 填空题

　　 9、已知{，|是平面上一个基底，若=+λ，=-2λ-，若，共线，则λ=__________。

10、已知||=，||=1，·=-9，则与的夹角是________。

11、设，是两个单位向量，它们夹角为60⁰，

则(2-)·(-3+2)=____________。

12、把函数y=cosx图象沿平移，得到函数___________的图象。

(一)　 选择题

1、平面内三点A(0，-3)，B(3，3)，C(x，-1)，若∥，则x的值为：

A、　 -5　　　　　　 B、-1　　　　　　 C、1　　　　　　　　 D、5

　　 2、平面上A(-2，1)，B(1，4)，D(4，-3)，C点满足，连DC并延长至E，使||=||，则点E坐标为：

A、(-8，)　　 B、()　　 C、(0，1)　　　 D、(0，1)或(2，)

2、点(2，-1)沿向量平移到(-2，1)，则点(-2，1)沿平移到：

3、A、(2，-1)　　 B、(-2，1)　　　 C、(6，-3)　　　　 D、(-6，3)

4、△ABC中，2cosB·sinC=sinA，则此三角形是：

A、　 直角三角形　　　 B、等腰三角形　　 C、等边三角形　　 D、以上均有可能

5、设，， 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：

①(·)-(·)=0

②||-||<|-|

③(·)-(·)不与垂直

④(3+2)·(3-2)=9||²-4|²中，

真命题是：

A、①②　　　　　　 B、②③　　　　　 C、③④　　　　　 D、②④

6、△ABC中，若a⁴+b⁴+c⁴=2c²(a²+b²)，则∠C度数是：

A、60⁰　　　　　 B、45⁰或135⁰　　　　 C、120⁰　　　　　　 D、30⁰

7、△OAB中，=，=，=，若=，t∈R，则点P在

A、∠AOB平分线所在直线上　　　　　　 B、线段AB中垂线上

C、AB边所在直线上　　　　　　　　　 D、AB边的中线上

8、正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且=(0，3)，=(4，0)，则=

A、()　　 B、()　　　 C、(7，4) 　　　D、()

　　 例1、如图，，为单位向量，与夹角为120⁰， 与的夹角为45⁰，||=5，用，表示。

分析：

以，为邻边，为对角线构造平行四边形

把向量在，方向上进行分解，如图，设=λ，=μ，λ>0，μ>0

则=λ+μ

∵ ||=||=1

∴ λ=||，μ=||

△OEC中，∠E=60⁰，∠OCE=75⁰，由得：

∴

∴

说明：用若干个向量的线性组合表示一个向量，是向量中的基本而又重要的问题，通常通过构造平行四边形来处理

例2、已知△ABC中，A(2，-1)，B(3，2)，C(-3，-1)，BC边上的高为AD，求点D和向量坐标。

分析：

用解方程组思想

设D(x，y)，则=(x-2，y+1)

∵=(-6，-3)，·=0

∴ -6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0　　　 ①

∵=(x-3，y-2)，∥

∴ -6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0　　　 ②

由①②得：

∴ D(1，1)，=(-1，2)

例3、求与向量=，-1)和=(1，)夹角相等，且模为的向量的坐标。　

分析：

用解方程组思想

法一：设=(x，y)，则·=x-y，·=x+y

∵ <，>=<，>

∴

∴

即　　　　　 ①

又||=

∴ x²+y²=2　　　　　　　　 ②

由①②得　 或(舍)

∴=

法二：从分析形的特征着手

∵ ||=||=2

　 ·=0

∴ △AOB为等腰直角三角形，如图

∵ ||=，∠AOC=∠BOC

∴ C为AB中点

∴ C()

说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化计算。

例4、在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使||∶||=1∶3，||∶||=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记= ，=，用 ，表示向量。

分析：

∵ B、P、M共线

∴ 记=s

∴ 　①

同理，记

∴ =　　 　　　　　　　　②

∵ ,不共线

∴ 由①②得解之得：

∴

说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数(如s，t)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于s，t的方程。

例5、已知长方形ABCD，AB=3，BC=2，E为BC中点，P为AB上一点

(1)利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED=45⁰；

(2)若∠PED=45⁰，求证：P、D、C、E四点共圆。

分析：

利用坐标系可以确定点P位置

如图，建立平面直角坐标系

则C(2，0)，D(2，3)，E(1，0)

设P(0，y)

∴ =(1，3)，=(-1，y)

∴

　 ·=3y-1

代入cos45⁰=

解之得(舍)，或y=2

∴ 点P为靠近点A的AB三等分处

(3)当∠PED=45⁰时，由(1)知P(0，2)

　∴ =(2，1)，=(-1，2)

　∴·=0

∴ ∠DPE=90⁰

又∠DCE=90⁰

∴ D、P、E、C四点共圆

说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：①建立平面直角坐标系；②设点的坐标；③求出有关向量的坐标；④利用向量的运算计算结果；⑤得到结论。

同步练习

5、向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直，线线平行，求夹角等，特别是直角坐标系的引入，体现了向量解决问题的“程序性”特点。