23. (本题满分10分)

对于正整数≥2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中(和可以相等)；对于随机选取的(和可以相等)，记为关于的一元二次方程有实数根的概率。

(1)求和；

(2)求证：对任意正整数≥2，有.

[解析] [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。

22.(本题满分10分)

在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F在轴上。

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；

(3)设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。

[解析] [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。满分10分。

21.[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A.选修4 - 1：几何证明选讲

如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.

求证：AB∥CD.

[解析] 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力。满分10分。

证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CBA=∠CDB。再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD。

B. 选修4 - 2：矩阵与变换

求矩阵的逆矩阵.

[解析] 本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。满分10分。

解：设矩阵A的逆矩阵为则

即故

解得：，

从而A的逆矩阵为.

C. 选修4 - 4：坐标系与参数方程

已知曲线C的参数方程为(为参数，).

求曲线C的普通方程。

[解析] 本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。

解：因为所以

故曲线C的普通方程为：.

D. 选修4 - 5：不等式选讲

设≥＞0,求证：≥.

[解析] 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分10分。

证明：

因为≥＞0,所以≥0，＞0，从而≥0，

即≥.

[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

20．(本小题满分16分)

设为实数，函数.

(1)若，求的取值范围；

(2)求的最小值；

(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.

[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分

(1)若，则

(2)当时，

　 当时，

　 综上

(3)时，得，

当时，；

当时，△>0,得：

讨论得：当时，解集为;

当时，解集为;

当时，解集为.

数学Ⅱ(附加题)

参考公式：

18．(本小题满分16分)

在平面直角坐标系中，已知圆和圆.

(1)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；

(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。

[解析] 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。

(1)设直线的方程为：，即

由垂径定理，得：圆心到直线的距离，

结合点到直线距离公式，得：

化简得：

求直线的方程为：或，即或

(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：

，即：

因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等。

故有：，

化简得：

关于的方程有无穷多解，有：

解之得：点P坐标为或。

17．(本小题满分14分)

设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。_学

(1)求数列的通项公式及前项和；

(2)试求所有的正整数，使得为数列中的项。

[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。

(1)设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,

(2) _(方法一)=,设，

则=,　 所以为8的约数

(方法二)因为为数列中的项，

故为整数，又由(1)知：为奇数，所以

经检验，符合题意的正整数只有。

16．(本小题满分14分)

如图，在直三棱柱中，_、分别是、的中点，点在上，_。

求证：(1)EF∥平面ABC；

(2)平面平面.

[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分。