[例1]求下列函数的导数：

(1)y= (2)y=ln(x+);

(3)y=;　　

解: (1)y′=

=

=

(2)y′=·(x+)′

=(1+)=

(3)y′==

◆提炼方法：题(1)是导数的四则运算法则；題(2)(3)是复合函数的求导方法.都是导数问题的基础.

[例2](1)求曲线在点(1，1)处的切线方程；

(2)运动曲线方程为，求t=3时的速度

分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数

　解：(1)，

　，即曲线在点(1，1)处的切线斜率k=0

　因此曲线在(1，1)处的切线方程为y=1

　(2)

解题点评:切线是导数的“几何形象”,是函数单调性的“几何”解释,要熟练掌握求切线方程的方法.

[例3]若f(x)在R上可导，(1)求f(－x)在x=a处的导数与f(x)在x=－a处的导数的关系；(2)证明：若f(x)为偶函数，则f′(x)为奇函数.

分析:(1)需求f(－x)在x=a处的导数与f(x)在x=－a处的导数；(2)求f′(x)，然后判断其奇偶性.

(1)解:设f(－x)=g(x),则

g′(a)=

=

=－=－f′(－a)

∴f(－x)在x=a处的导数与f(x)在x=－a处的导数互为相反数.

(2)证明:f′(－x)=

=

=－=－f′(x)

∴f′(x)为奇函数.

解题点注:用导数的定义求导数时，要注意Δy中自变量的变化量应与Δx一致.

[例4](2006浙江)已知函数＝x³+x²，数列 { x_n } (x_n > 0)的第一项x₁＝1，以后各项按如下方式取定：曲线y＝在处的切线与经过(0，0)和(x_n，f(x_n))两点的直线平行(如图)。求证：当n时：　　　 　　　　　　

(I)；(II)

证明：(I)∵

∴曲线在处的切线斜率

∵过和两点的直线斜率是

∴.

(II)∵函数当时单调递增，

而

，

∴，即

因此

又∵

令则

∵　 ∴

因此 故

考查知识：函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。

7. (1，e) e；　 8. 2ⁿ⁺¹-2.

6. 答案: －. 依题意

作图易得函数的最小值是f()＝－

8．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　　 　

简答:1－4.CDCC；　 5. ；

7.(2005北京)过原点作曲线的切线，则切点的坐标为　　　　　 ，切线的斜率为　　　　 .

6．设函数若该函数在实数集R上可导，则该函数的最小值是____．

5. (2006全国Ⅰ)设函数　 若是奇函数，则__________

4.(2006湖南)设函数, 集合, 若,　 则实数的取值范围是　 (　 )

　A．　 B． 　C．　　 D．

3．(2005湖南)设f₀(x) ＝ sinx，f₁(x)＝f₀′(x)，f₂(x)＝f₁′(x)，…，f_n+1(x) ＝ f_n′(x)，n∈N，则f₂₀₀₅(x)＝ 　　　 (　 )

A．sinx　　　 B．－sinx　　　　　　　　　　 C．cosx　　　　　　　　 D．－cosx

2.设f(x)=ax³+3x²+2,若f′(－1)=4,则a的值等于　 (　 )

A.　　　　　　　　　　 B. 　　　　 　　　 　C.　 　　　 　　　D.