同步练习　　 　9.1平面的性质与直线的位置关系

[选择题]

1．下列四个命题：

(1)分别在两个平面内的两条直线是异面直线

(2)和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条

(3)和两条异面直线都相交的两条直线必异面

(4)若与是异面直线，与是异面直线，则与也异面

其中真命题个数为　　　　　　　　　　　 (　 )

A.3　　 B.2　　 C.1　　 D.0

[例1]用图形表示：a∩b=m,aÌa,bÌb,a∩m=A,b∩m=B,c∩a=P,PÏa,cËb.

　 图略

思悟提炼：熟悉图形语言、符号语言之间的互化.提高画图能力.

[例2]P是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁上一点,(不是端点),求证:过P点有且只有一条直线与直线BC、C₁D₁相交.

证明：依题设，平面BCP与直线C₁D₁

有且只有一个交点，设为Q，过两点Q、P有且只有一条直线，且与BC必相交.

思悟提炼：1.线面相交,有且只有一个交点.一个平面内的直线不平行就相交.

[例3](1)三条直线a,b,c互相平行，且都与直线m相交，求证：这四条直线共面；

(2)在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M,N,P,Q,R,S是棱的中点，

求证：MNPQRS是正六边形.

证明:

(1)设a,m确定平面α再证b, c在α内.

(2)证SR//MQ//NP,且都与RN相交.

思悟提炼:证明点或线共面的方法：--

[例4]如图，已知DABC和DA¢B¢C¢不共面，直线AA¢、BB¢、CC¢两两相交.

(1)求证：这三条直线AA¢、BB¢、CC¢交于一点；

(2) 若直线AB和A¢B¢、BC和B¢C¢、CA和C¢A¢分别交于P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线.

思悟提炼：用平面的基本性质证明空间三点共线、三线共点的方法.

[例5] 长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=a，BC=b，AA₁=c，且a>b，求：

(1)　 下列异面直线之间的距离：

AB与CC₁；AB与A₁C₁；AB与B₁C.

(2)异面直线D₁B与AC所成角的余弦值.

解(1)：BC为异面直线AB与CC₁的公垂线段，故AB与CC₁的距离为b.

AA₁为异面直线AB与A₁C₁的公垂线段，故AB与A₁C₁的距离为c.

过B作BE⊥B₁C，垂足为E，则BE为异面直线AB与B₁C的公垂线，BE==，即为所求.

(2)解法一：连结BD交AC于点O，取DD₁的中点F，连结OF、AF，则OF∥D₁B，∴∠AOF就是异面直线D₁B与AC所成的角.

∵ AO=，OF=

BD₁=，AF=，

∴ 在△AOF中，

cos∠AOF=

=

解法二:补图形如下,在ΔBGD₁中,∠GBD₁为所求角的补角--

3.C；　 4.C　 5.C

2． ´；Ö；Ö；´；Ö；´；´；´.　　

1．不共线；六个；　 0个、一个或三个.

6．画出上题图B中平面PQR与下底面的交线.

◆答案提示：

5．下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则PQ与SR一定是异面直线的是

4. 直线a、b相交于点O且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有(　 )

A.1条　 B.2条　 C.3条　 D.4条

3．(2006福建)对平面和共面的直线、下列命题中真命题是　　　　 (　 )

(A)若则　

(B)若则

(C)若则　

(D)若、与所成的角相等，则

2. 判断下列命题真假

(1)四边相等且有一个内角是直角的四边形是正方形； 　　　　　　　　( 　)

(2)四点不共面，则其中任意三点不共线；　　　　　　　　　　　　　 ( 　)

(3)“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”　 (　 )

(4)两个平面有三个共公点，那么这两个平面重合；　　 　　　　　　　　( 　)

(5)三个平面可以把空间分成四、六、七、八个部分；　　　　 　　　　　( 　)

(6)过直线外一点向直线引垂线，有且只有一条；　　　　　　　　　　　 ( 　)

(7)异面直线a与c、b与c所成的角相等，则a与b平行或异面　　 　　( 　)

(8)过空间任一点一定可以作一条直线与两条异面直线都相交.　　　 　　　(　 )