17． 将3k(k为正整数)个石子分成五堆．如果通过每次从其中3堆中各取走一个石子，而最后取完，则称这样的分法是“和谐的”．试给出和谐分法的充分必要条件，并加以证明．

解： 分法是和谐的 充分必要条件 是 最多一堆石子的个数不超过k．………(5分)

下面设五堆石子的个数分别为a,b,c,d,e(其中)．

“必要性”的证明： 若分法是和谐的，则把a所对应的石子取完至少要取a次，这a次每次都要取走3个石子．如果 ，则，即把a所对应的一堆取完时，需取走的石子多于五堆石子的总数．矛盾．因此最多一堆石子的个数不能超过k．…………………(15分)

“充分性”的证明：(数学归纳法)

(1)　　　 当时，满足“” 的分法只能是1，1，1，0，0．显然这样的分法是和谐的．

(2)　　　 假设时，满足“” 的分法是和谐的．

(3)　　　 当时，若，且分法a,b,c,d,e是不和谐的，则分法a－1,b－1,c－1, d, e也是不和谐的．由(2)及必要性的证明，可知．

因为，所以．

　 若，则有 ．这与 矛盾．

　 若，则有 ，从而有，于是有

　，这是不可能的．矛盾．

因此当时，分法a,b,c,d,e是和谐的．…………………………………………(25分)

16．设为2008个整数，且()．如果存在某个，使得2008位数被101整除，试证明：对一切，2008位数 均能被101整除．

解： 根据已知条件，不妨设k＝1，即2008位数被101整除，只要能证明2008位数能被101整除．　　　　 ……………………(5分)

事实上，，

　……………………(10分)

从而有，

即有．……………………(20分)

因为，所以． 利用上述方法依次类推可以得到

对一切，2008位数均能被101整除．……(25分)

15．设非负等差数列的公差，记为数列的前n项和，证明：

　 (1)若，且，则；

　 (2)若则。

解：设非负等差数列的首项为，公差为．

(1)因为，所以，，．

从而有． 因为，所以有

……………………(5分)

于是．　 ……………………(10分)

(2) 　………(15分)

又因为，所以有

…………………………………………(20分)

14．求解不等式。

解：(I)情形．此时不等式为．于是有

　(1)．

因此　 当时，有；当时，有；

当时，有；当时，空集．　　 …………………… (5分)

　 (2) ．

此时有　 当时，有；当时，有；当时，有；当时，．　　　　　　　　　　 …………………………………………(10分)

(II)情形．此时不等式为．

　　 于是有

　(3)．

因此　 当时，有；当时，有；当时，空集．……(15分)

(4)．

因此　 当时，有；当时，空集．

综合(1)－(4)可得

当时，有；当时，有；当时，．…(20分)

13．已知椭圆C：()，其离心率为，两准线之间的距离为。(1)求之值；(2)设点A坐标为(6, 0)，B为椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角△ABP(字母A，B，P按顺时针方向排列)，求P点的轨迹方程。

解：(1)设c为椭圆的焦半径，则．　　　 ……………………(5分)

于是有a＝5，b＝3．

(2) 解法一：设B点坐标为，P点坐标为．于是有

因为，所以有．　　　　　 (A1 )

又因为ABP为等腰直角三角形，所以有 AB=AP，即 　

．　　　　　　　 (A2 )　 …………(10分)

由(A1)推出，代入(A2)，得　 ……(15分)

从而有 ，即(不合题意，舍去)或．

代入椭圆方程，即得动点P的轨迹方程　　　 …………(20分)

解法二： 设,，则以A为圆心，r为半径的圆的参数方程为

．

设AB与x轴正方向夹角为，B点的参数表示为，　 …………(10分)

P点的参数表示为．

从上面两式，得到．　　　 ……………………(15分)

又由于B点在椭圆上，可得．　 ……………………(20分)

此即为P点的轨迹方程．

12．在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上．AD的长度的最小值为　　　　 ．

解：设，作△ADE关于DE的对称图形，A的对称点G落在BC上．在△DGB中，

当时，即．

11．已知，直线与

的交点在直线上，则　　　　 ．

解：由已知可知，可设两直线的交点为，且为方程

，

的两个根，即为方程

的两个根．因此

，

即0．

10． 设实系数一元二次方程有两个相异实根，其中一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是　　　　 ．

解： 根据题意，设两个相异的实根为，且，则

，．

于是有 ，也即有

．

故有，即取值范围为．

9．设，则．

解： ．

8．设为非负实数，满足，则

＝　　　　　　　　　 ．

解：显然，由于，有

．于是有，故

．