8、已知椭圆(a＞b＞0)上两点A、B，直线上有两点C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圆为x²+y²-2y-8=0，求椭圆方程和直线的方程。

7、已知椭圆x²+2y²=12，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求点A的坐标。

6、已知△ABC三边所在直线方程AB：x-6=0，BC：x-2y-8=0，CA：x+2y=0，求此三角形外接圆的方程。

5、某人有楼房一幢，室内面积共180，拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？

4、已知三种食物P、Q、R的维生素含量与成本如下表所示.

现在将xkg的食物P和ykg的食物Q及zkg的食物R混合，制成100kg的混合物.如果这100kg的混合物中至少含维生素A44 000单位与维生素B48 000单位，那么x，y，z为何值时，混合物的成本最小？

3、求直线l₂：7x-y+4=0到l₁：x+y-2=0的角平分线的方程。

2、已知△ABC的顶点A(3, -1)，AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y-59=0，∠B的平分线所在直线的方程为：x-4y+10=0，求边BC所在直线的方程。

1、已知P是以、为焦点的椭圆上一点，若 ，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　　　　　　　　　　　　　　

(A)　　　　 (B)　　　　 (C)　　　　 (D)　

例1、(08山东高考题理科)如图，设抛物线方程为x²=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.

(Ⅰ)求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；

(Ⅱ)已知当M点的坐标为(2，-2p)时，，求此时抛物线的方程；

(Ⅲ)是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足(O为坐标原点).若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

(Ⅰ)证明：由题意设

由得，则

所以

因此直线MA的方程为

直线MB的方程为

所以　　　　　　　　　 ①

　　　　　　　　　 ②

由①、②得　

因此　，即

所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，当x₀=2时，

　　　　　　　 　 将其代入①、②并整理得：

　　　所以　x₁、x₂是方程的两根，

　　　　　　　 因此

　　　　　　　 又

　　　　　　　 所以

　　　　　　　 由弦长公式得

　　又，

　　　　　　　 所以p=1或p=2，

　　　　　　　 因此所求抛物线方程为或

(Ⅲ)解：设D(x₃,y₃)，由题意得C(x₁+ x₂, y₁+ y₂),

　　　　　　　 　 则CD的中点坐标为

　　　　　　　 　设直线AB的方程为

　　　　　　　 　由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，

　　　　　　　 　代入得

　　　　　　　 　若D(x₃,y₃)在抛物线上，则

　　　　　　　 　因此　x₃=0或x₃=2x₀.

　　　　　　　 　 即D(0，0)或

　　　　　　　 (1)当x₀=0时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意.

　　　　　　　 (2)当，对于D(0，0)，此时

　　　　　　　 　又AB⊥CD，

所以

即矛盾.

对于因为此时直线CD平行于y轴，

又

所以　直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，

所以时，不存在符合题意的M点.

综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.

例2(08全国高考题)设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

(Ⅰ)若，求的值；

(Ⅱ)求四边形面积的最大值．

(Ⅰ)解：依题设得椭圆的方程为，

直线的方程分别为，．

如图，设，其中，

且满足方程，

故．①

由知，得；

由在上知，得．

所以，

化简得，

解得或．

(Ⅱ)解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，

．

又，所以四边形的面积为

，

当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．

解法二：由题设，，．

设，，由①得，，

故四边形的面积为

，

当时，上式取等号．所以的最大值为．

例3、已知x、y满足约束条件

　　　　　　　　　　　　　　　 x≥1，

　　　　　　　　　　　　　　　 x-3y≤-4，

　　　　　　　　　　　　　　　 3x+5y≤30，

求目标函数z=2x-y的最大值和最小值.

解：根据x、y满足的约束条件作出可行域，即如图所示的阴影部分(包括边界).

作直线：2x-y=0，再作一组平行于的直线：2x-y=t，t∈R.

可知，当在的右下方时，直线上的点(x，y)满足2x-y＞0，即t＞0，而且直线往右平移时，t随之增大.当直线平移至的位置时，直线经过可行域上的点B，此时所对应的t最大；当在的左上方时，直线上的点(x，y)满足2x-y＜0，即t＜0，而且直线往左平移时，t随之减小.当直线平移至的位置时，直线经过可行域上的点C，此时所对应的t最小.

　　　　 x-3y+4=0，

　　 由　　　　　　　　　　　 解得点B的坐标为(5，3)；

　　　　 3x+5y-30=0，

　　　　 x=1，

　　 由　　　　　　　　　　 解得点C的坐标为(1，).

　　　　 3x+5y-30=0，

所以，=2×5-3=7；=2×1-=.

例4、(08山东高考题文科)已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点．

(1)若(为坐标原点)，当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；

(2)若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．

解：(Ⅰ)由题意得

又，

解得，．

因此所求椭圆的标准方程为．

(Ⅱ)(1)假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为，

．

解方程组得，，

所以．

设，由题意知，

所以，即，

因为是的垂直平分线，

所以直线的方程为，

即，

因此，

又，

所以，

故．

又当或不存在时，上式仍然成立．

综上所述，的轨迹方程为．

(2)当存在且时，由(1)得，，

由解得，，

所以，，．

解法一：由于

，

当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时面积的最小值是．

当，．

当不存在时，．

综上所述，的面积的最小值为．

解法二：因为，

又，，

当且仅当时等号成立，即时等号成立，

此时面积的最小值是．

当，．

当不存在时，．

综上所述，的面积的最小值为．

例5(08湖北高考题)如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.

(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

(Ⅱ)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.

若△OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围.

解：本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.

(Ⅰ)解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)，D(0,2)，P()，依题意得

|｜MA｜－｜MB｜|=｜PA｜－｜PB｜＝＜

｜AB｜＝4.

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，

则c＝2，2a＝2，∴a²=2,b²=c²－a²=2.

∴曲线C的方程为.

解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得

|｜MA｜－｜MB｜|=｜PA｜－｜PB｜＜｜AB｜＝4.

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

设双曲线的方程为＞0，b＞0).

则由　 解得a²=b²=2,

∴曲线C的方程为

(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理

得(1－k²)x²－4kx－6=0.　　　　　　　　　　　 ①

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴　 　

∴k∈(－,－1)∪(－1，1)∪(1，).　　　 ②

设E(x₁，y₁)，F(x₂, y₂)，则由①式得x₁+x₂=,于是

｜EF｜＝

＝

而原点O到直线l的距离d＝，

∴S_△DEF=

若△OEF面积不小于2,即S_△OEF，则有

　　　　 ③

综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[－，－1]∪(-1,1) ∪(1, ).

解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，

得(1－k²)x²－4kx－6=0.　　　　　　　　　　　　 ①

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴　 　.

∴k∈(－，－1)∪(－1，1)∪(1，).　　　　　　　　　 ②

设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂),则由①式得

｜x₁－x₂｜=　　　　　 ③

当E、F在同一支上时(如图1所示)，

S_△OEF＝

当E、F在不同支上时(如图2所示).

S_△ODE=

综上得S_△OEF＝于是

由｜OD｜＝2及③式，得S_△OEF=

若△OEF面积不小于2

　　 　④

综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[－，－1]∪(－1，1)∪(1，).

例7、 已知⊙M：轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，(1)如果，求直线MQ的方程；

　　　 (2)求动弦AB的中点P的轨迹方程.

　　　 解:(1)由，可得由射影定理，得　 　在Rt△MOQ中，

　 　 ，

　　 故，

　　 所以直线AB方程是

　　 (2)连接MB，MQ，设由

点M，P，Q在一直线上，得

由射影定理得

即 把(*)及(**)消去a，

并注意到，可得

说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。

　例8、已知椭圆，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离为它到两焦点F₁、F₂距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。

　 解：假设存在满足条件的点，设M(x₁，y₁)a²=4，b²=3，∴a=2，，c=1，∴，

，点M到椭圆左准线的距离

，∴，∴，∴或，这与x₁∈[-2，0)相矛盾，∴满足条件的点M不存在。

例9、已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，焦距为4，离心率为，

(Ⅰ)求椭圆方程；　　　　

(Ⅱ)设椭圆在y轴正半轴上的焦点为M，又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段所成的比为2，求线段AB所在直线的方程。

解：(Ⅰ)设椭圆方程为　　 由2c=4得c=2　　 又　

　故a=3，　 ∴所求的椭圆方程为

(Ⅱ)若k 不存在，则，若k 存在，则设直线AB的方程为：y=kx+2　　

又设A　　　　　　　

　由　 得　

①　　　　　　　 ②

∵点M坐标为M(0，2) ∴

由∴

∴代入①、②得… ③　　　 ④

由③、④ 得 　　　∴　　

∴线段AB所在直线的方程为：。

说明：有向线段所成的比，线段的定比分点等概念，本身就是解析几何研究的一类重要问题。向量概念的引入，使这类问题的解决显得简洁而流畅。求解这类问题可以用定比分点公式，也可以直接用有向线段的比解题。

另外，向量的长度，点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系，向量与解析几何的结合，为解决这些问题开辟了新的解题途径。

例12、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是

(1)求双曲线的方程；

　(2)已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

　 解：∵(1)原点到直线AB：的距离.

　　 故所求双曲线方程为

(2)把中消去y，整理得 .

　　 设的中点是，则

即

故所求k=±.

说明：为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程.

例15、已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量。

(1)求椭圆的离心率e；

(2)设Q是椭圆上任意一点， 、分别是左、右焦点，求∠ 的取值范围；

解：(1)∵，∴。

∵是共线向量，∴，∴b=c,故。

(2)设

当且仅当时，cosθ=0，∴θ。

说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。

例16、一条斜率为1的直线与离心率为的椭圆C：()交于P、Q，两点，直线与Y轴交于点R，且，，求直线和椭圆C的方程。

解： 椭圆离心率为，，

所以椭圆方程为，设方程为：，

由消去得

……(1)　 ……(2)

　 所以

而

所以　 　　

所以……(3)又，，　 从而……(4)　　　　　 由(1)(2)(4)得……(5)

由(3)(5)解得， 适合，

所以所求直线方程为：或；椭圆C的方程为

说明：向量数量积的坐标表示，构建起向量与解析几何的密切关系，使向量与解析几何融为一体。求此类问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，沟通向量与解析几何的联系。体现了向量的工具性。

3．命题的热点：

(1)与其他知识进行综合，在知识网络的交汇处设计试题(如与向量综合，与数列综合、与函数、导数及不等式综合等)；

(2)直线与圆锥曲线的位置关系，由于该部分内容体现解析几何的基本思想方法--用代数的手段研究几何问题，因此该部分内容一直是考试的热点，相信，在09年的考试中将继续体现；

(3)求轨迹方程．

(4)应用题．