19．证明：(1)延长C₁F交CB的延长线于点N，连接AN．因为F是BB₁的中点，

　　 所以F为C₁N的中点，B为CN的中点．

　　 又M是线段AC₁的中点，故MF∥AN．

　　 又MF平面ABCD，AN平面ABCD．

　　 ∴MF∥平面ABCD．　

(2)证明：连BD，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D_{1[来源:高&考%资(源#网]}

　　 可知A₁A⊥平面ABCD，

　　 又∵BD平面ABCD， ∴A₁A⊥BD．

　　 ∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．

　　 又∵AC∩A₁A=A，AC，AA平面ACC₁A₁．

　　 ∴BD⊥平面ACC₁A₁．　　　　　　　　　

　　 在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形

　　 故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁，又因为NA平面AFC₁

　　 ∴平面AFC₁⊥ACC₁A₁

　(3)由(2)知BD⊥ACC₁A₁，又AC₁ACC₁A₁，

　　 ∴BD⊥AC₁，∴BD∥NA，∴AC₁⊥NA．

　　 又由BD⊥AC可知NA⊥AC，

　　 ∴∠C₁AC就是平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的平面角或补角．　　　　　

　　 在Rt△C₁AC中，tan，　　　　　　　　　

　　 故∠C₁AC=30°

　　 ∴平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°．

19．(天津市天津一中2010届高三第四次月考文科)已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F为棱BB₁

的中点， M为线段AC₁的中点．

(1)求证：直线MF∥平面ABCD；

(2)求证：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；

(3)求平面AFC₁与与平面ABCD所成二面角的大小．

19、解：(1)取中点M，连接，

则平面，则在平面内的摄影为，……………………(2分)

……………………(4分)

(2)由体积转换可求点到平面的距离为，……………………(7分)

而是的中点

所以点到平面的距离为……………………(8分)

(3)取的中点，连接，则，又平面

　 平面，作于，连接

所以

是所求二面角的平面角……………………(10分)

易得，又

所求二面角的平面角为……………………(12分)

另解：空间向量方法

(1)同上……………………(4分)

(2)如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则……(5分)

设平面的法向量为

求得平面的法向量为……………………(6分)

又

所以，点到平面的距离……………………(8分)

(3)设平面的法向量为

可求得平面的法向量为……………………(9分)

同理可求得平面的法向量为……………………(10分)

所以，……………………(11分)

所以二面角的大小为……………………(12分)

19．(天津市天津一中2010届高三第四次月考理科)如图，在直三棱柱中，异面直线与成的角，点分别是棱和的中点，点是棱上的动点。

(1)证明：；

(2)求点到平面的距离；

(3)求二面角的大小。

19．(I)证明：取SD中点E，连接AE，NE，

　 则

四边形AMNE为平行四边形，

　　　　　　　　　　　　 …………1分

又平面SAD …………3分

　 (2)平面ABCD，

，

底面ABCD为矩形，

又

平面SAD，

　　 即为二面角S-CD-A的平面角，

即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………5分

为等腰直角三角形，

平面SAD，

又平面SCD

平面SCD，

平面SMC，

平面SMC平面SCD　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………8分

　 (3)，设AD=SA=a，则CD

由(2)可得MN平面SCD，

即为SM在平面SCD内的射影

即为直线SM与平面SCD所成角，

即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………9分

而MN=AE=

中，而

中，由得

解得

当时，直线SM与平面SCD所成角为　　　　　　　 …………12分

19．(天津市六校2010届高三第三次联考文科)(本小题满分12分)

　　　　 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，二面角S-

CD-A的平面角为，M为AB中点，N为SC中点.

　 (1)证明：MN//平面SAD；

　 (2)证明：平面SMC⊥平面SCD；

　 　 (3)若，求实数的值，使得直线SM与平面SCD所成角为

19．解：(I)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.

中，E、F分别为BC、PB的中点.

而平面PAC，EF//平面PAC　　　　　　　　　　　 …………4分

　 (II)证明：平面ABCD，BE平面ABCD，

又平面PAB，

又平面PAB，

又PA=PB=1，点F是PB的中点，

又PBE，

平面PBE.

平面PBE，　　　　　　　　　　　　 …………8分

　 (3)过A作AG⊥DE于G，连PG，

又∵DE⊥PA，则DE⊥平面PAG，

则∠PGA是二面角P-DE-A的二面角，

，

∵PD与平面ABCD所成角是，

则

在，

得　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………12分

注：其它方法可参考本题标准

19．(天津市六校2010届高三第三次联考理科)(本小题12分)

　　　　 如图，PA⊥ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB的中点，点E在 边BC上移动.

　 (I)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；

　 (II)证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF；

　 (III)当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°.

20．(天津市武清区2009-2010学年高三下学期第一次模拟文)(本小题满分12分)

　　　 如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60⁰，AB=PA=2,PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB中点。

　　　 (1)求证：BE∥平面PDF；

(2)求证：平面PDF⊥平面PAB；

(3)求BE与平面PAC所成的角。

证明：(1)取PD中点为M，连ME，MF　 ∵ E是PC的中点　 ∴ ME是△PCD的中位线

　　 ∴ MECD　 ∵ F是AB中点且由于ABCD是菱形，ABCD

∴ MEFB　 ∴ 四边形MEBF是平行四边形　 …………2分

　　 ∴ BE∥MF　 …………………3分

　　 ∵ BE平面PDF ,MF平面PDF　 ∴ BE∥平面PDF　 ………4分

　 (2)　 ∵ PA⊥平面ABCD　 DF平面ABCD　 ∴ DF⊥PA……………5分

　　 ∵ 底面ABCD是菱形，∠BAD=60⁰　 ∴ △DAB为正△

　　 ∵ F是AB中点　 ∴ DF⊥AB　 ……………6分

　　 ∵ PA、AB是平面PAB内的两条相交直线　 ∴ DF⊥平面PAB　 ………7分

　　 ∵ DF平面PDF　 ∴ 平面PDF⊥平面PAB　 ………………8分

　 (3)连BD交AC与O、连EO　 　∵ 底面ABCD是菱形 ∴ BO⊥AC

　　 ∵ PA⊥平面ABCD　 BO平面ABCD　 ∴ BO⊥PA

∵ PA、AC是平面PAC内的两条相交直线　 ∴ BO⊥平面PAC　 …………9分

　　 ∴ EO是BE在平面PAC内的射影　

∴ ∠BEO是BE与平面PAC所成的角　 ………………10分

　　 ∵ O是AC、BD的中点　 ∴ BO=1，EO是△PAC的中位线 ∴ EO=PA=1

　　 ∴ 在直角△BEO中，tan∠BEO==1 ∴ ∠BEO=45⁰

　　 ∴ 直线BE与平面PAC所成的角为45⁰　 …………………12分

19．(天津市武清区2009-2010学年高三下学期第一次模拟理)(本小题满分12分)

　　 如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60⁰，AB=2，PA=1,PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点。

　　　 (1)求证：BE∥平面PDF；

(2)求证：平面PDF⊥平面PAB；

(3)求平面PAB与平面PCD所成的锐角。

　 证明：(1)取PD中点为M，连ME，MF　 ∵ E是PC的中点　 ∴ ME是△PCD的中位线

　　 ∴ MECD　 ∵ F是AB中点且由于ABCD是菱形，ABCD

∴ MEFB　 ∴ 四边形MEBF是平行四边形　 …………2分

　　 ∴ BE∥MF　 …………………3分

　　 ∵ BE平面PDF ,MF平面PDF　 ∴ BE∥平面PDF　 ………4分

　 (2)∵ PA⊥平面ABCD　 DF平面ABCD　 ∴ DF⊥PA　 ……………5分

　　 ∵ 底面ABCD是菱形，∠BAD=60⁰　 ∴ △DAB为正△

　　 ∵ F是AB中点　 ∴ DF⊥AB　 ……………6分

　　 ∵ PA、AB是平面PAB内的两条相交直线　 ∴ DF⊥平面PAB　 ………7分

　　 ∵ DF平面PDF　 ∴ 平面PDF⊥平面PAB　 ………………8分

　 (3)(解法一)以A为原点，垂直于AD、AP的方向为x轴，AD、AP的方向分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知P(0，0，1)、C(，3，0)、D(0，2，0)、

F(，，0)…………………9分

　　 由(2)知DF⊥平面PAB，

∴ =(，-，0)是平面PAB的一个法向量　 …………10分

　　 设平面PCD的一个法向量为(x，y，z)

　　 由·=(x，y，z)·(，1，0)=0得x+y=0

　　 由·=(x，y，z)·(0，2，-1)=0得2y-z=0

　　 在以上二式中令y=，则得x=-1，z=2

　　 ∴ =(-1，，2)　 …………………11分

　　　　 设平面PAB与平面PCD所成的锐角为θ

　　 ∴ cosθ=|cos＜，＞|=

　　 ∴θ=60⁰　 ∴ 平面PAB与平面PCD所成的锐角为60⁰　 …………12分

(3)(解法二)设平面PAB与平面PCD的交线为，

　 ∵ CD∥AB，AB平面PAB，CD平面PAB ∴ CD∥平面PAB

　 ∵ CD平面PCD　 ∴ CD∥　 ∴ AB∥　 ……………9分

　　　　 作FM⊥交于M，连MD，易知FM=AP=1 ，DF= …………10分

　　　 由(2)知DF⊥AB　 ∴ ⊥DF

　　　 ∵ FM、DF是平面MDF内的两条相交直线，∴ ⊥平面MDF　

　　　 ∴ ∠FMD就是平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角　 …………11分

　　　 在直角△FMD中，tan∠FMD=　

　　　 ∴ ∠FMD=60⁰

　　　 ∴ 平面PAB与平面PCD所成的锐角为60⁰　 …………………12分