21.(Ⅰ)解:当a=1时,f(x)=
,f(2)=3;f’(x)=
, f’(2)=6.所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-3=6(x-2),即y=6x-9.
(Ⅱ)解:f’(x)=
.令f’(x)=0,解得x=0或x=
.
以下分两种情况讨论:
(1) 若
,当x变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表:
|
X |
|
0 |
|
|
f’(x) |
+ |
0 |
- |
|
f(x) |
|
极大值 |
|
当
等价于![]()
解不等式组得-5<a<5.因此
.
(2) 若a>2,则
.当x变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表:
|
X |
|
0 |
|
|
|
|
f’(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
f(x) |
|
极大值 |
|
极小值 |
|
当
时,f(x)>0等价于
即![]()
解不等式组得
或
.因此2<a<5.
综合(1)和(2),可知a的取值范围为0<a<5.